拉普拉斯变换 (Laplace Transform)（拉普拉斯变换解微分方程）

1.拉普拉斯变换的定义与基本性质：傅里叶变换对于微积分方程的应用的实质性限制是，这个变换仅仅对在整个直线上可和的函数才有定义，特别，傅里叶变换对于当 x→−∞x\rightarrow{-\infty} 或

x→∞x\rightarrow{\infty}时增长的函数不存在，而这样的函数当解微分方程时常常出现把傅里叶变换推广到广义函数后，可以克服这一困难关于这一方法，我们将在稍后的文章中简短的叙述不越出函数的古典概念和古典分析方法的范围的可能途径是，用所谓的拉普拉斯变换代替傅里叶变换。

如果函数 ff(一般说来，它整个直线上不可积)在乘以 e−λxe^{-\lambda{x}} 以后变为可积的，其中 γ\gamma 是某个实数，则积分g(s)=∫−∞∞f(x)e−isxdx=∫−∞∞f

(x)e−ixλe−xμdxg(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-isx}dx=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\lambda}e^{-x\mu}dx\\

对于某个复数 s=λ+iμs=\lambda+i\mu是收敛的，特别，它在直线 μ=−γ\mu=-\gamma上收敛，在这条直线上，是函数 f(x)e−λxf(x)e^{-\lambda{x}}的傅里叶变换。

对于应用，最重要的情况，即我们关于函数 f(x)e−γxf(x)e^{-\gamma{x}}e可积的假设成立的情况是 f f 满足如下条件： {|f(x)|

\ \ \begin{cases} \ \left|f(x)\right|

(其中 γ0\gamma_{0} 与 CC是常数 )对于所有 μ<−γ0\mu<-\gamma_{0}的 s=λ+iμs=\lambda+i\mu,即在由直线 Ims=−γ0Ims=-\gamma_{0}。

所界定的半平面上，积分g(s)=∫−∞∞f(x)e−isxdx=∫0∞f(x)e−isxdx[2] g(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-isx}dx=\int_{0}^{\infty}f(x)e^{-isx}dx\ \ \ \ \ \ \ [2]

存在并且是函数 f(x)eμxf(x)e^{\mu{x}}的傅里叶变换，这后一点可由 gg 借助反演公式而得到（我们假设 ff 满足使用反演公式的条件）：f(x)eμx=12π∫0∞g(s)eiλxdλ

f(x)e^{\mu{x}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}g(s)e^{i\lambda{x}}d{\lambda}\\s=λ+iμs=\lambda+i\mu ，由此：

f(x)=12π∫iμ−∞iμ+∞g(s)eisxds[3]f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{i\mu-\infty}^{i\mu+\infty}g(s)e^{isx}ds\ \ \ \ \ \ \ \ \ [3]

因为函数 f(x)eμxf(x)e^{\mu{x}}当 μ<−γ0\mu<-\gamma_{0}时如指数函数那样减小（由于(1)式i），它的傅里叶变换 gg 以及 g(s)eisxg(s)e^{isx}

是在半平面 Ims<−λ0Ims<-\lambda_{0}内的解析函数现在，公式(2)与(3)中令 p=isp=is，并作代换：用 Φ(p)\Phi(p)来表示g(x)g(x) 我们得到：Φ(p)=∫0

∞f(x)epxdx[2′]\Phi(p)=\int_{0}^{\infty}f(x)e^{px}dx \ \ \ \ \ \ \ \ \ [2]及f(x)=12π∫−μ−i∞−μ+i∞Φ(p)epx

dpi=12πi∫−μ−i∞−μ+i∞Φ(p)epxdp[3′]f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\mu-i\infty}^{-\mu+i\infty}\Phi(p)e^{px}\frac{dp}{i}=\frac{1}{2\pi{i}}\int_{-\mu-i\infty}^{-\mu+i\infty}\Phi(p)e^{px}dp \ \ \ \ \ \ \ \ \ [3]

函数 Φ\Phi在半平面 \gamma_0">Rep>γ0Rep>\gamma_0 内有定义且解析，它称为(满足条件(1)的)函数 ff 的拉普拉斯变换 稍后将更新傅里叶—斯蒂尔切斯变换。