你应该想想，等比数列的求和是怎么来的？

如果你曾经学过计算机的知识，那你肯定对 2 这个数字比较敏感，因为计算机底层使用的便是 2 进制数（0、1）。关于 2 这个数字有许多比较神奇的地方，比如下面这个关于 2 的序列：

、、、、、1、2、4、8、16、......(1)1、2、4、8、16、......\quad\quad(1)

你会惊奇地发现，当你对它的前 n 项求和时，你会得到这样的一个规律：

（代表的是总共有多少项）Sn=2n−1（n代表的是总共有多少项）S_{n} = 2^n - 1（\ n \ 代表的是总共有多少项）

我们代入上面的数字进去计算验证一下：

21−1=1\ 2^1 - 1 = 1 22−1=1+2=32^2 - 1 = 1+2 = 3 23−1=1+2+4=72^3-1 = 1+2+4=7 24−1=1+2+4+8=152^4-1=1+2+4+8=15 ............

真的是这样，有时候碰到这样的序列求和用这么一个神奇的公式就能直接搞定，简直不要太方便。

我们回到主题，上述中的（1）式，便是我们今天要讨论的 等比数列。

等比数列和等差数列的区别在于数列中相邻两项之间不是相差一个常数值，而是相差一个常数倍，比如（1）式，相邻两项之间是 2 倍的关系，2 便是数列中的公比。我们知道了等比数列的首项 a1a_{1} ，知道了公比 qq ，那我们就可以通过下面这个公式得到数列中的任何一项：

指的是第项an=a1∗qn−1(n指的是第n项)a_{n}=a_{1}*q^{n-1}\quad(n\ 指的是第\ n \ 项)

关于这么一个等比数列的求和公式该怎么计算呢？这一次我们需要用到数列计算当中经常用到的一个手法：错位相减法。 所谓错位相减即指两个等式相减的时候，其中一个等式的第 m 项减去的是另一个等式的第 n 项（m≠n\bm{m\ne n}）。我们错开位置相减，目的是为了更方便地计算得到我们想要的结果。为了更清楚的理解这个方法，我们直接看下面的推导过程：

上面（2）和（3）两个公式中，相同的项减去后相互抵消，（2）式右边最终留下了 a1a_{1} ，（3）式右边留下了 a1∗qna_{1}*q^n ，(3) - (2) 整理后得：

Sn=a1∗(qn−1)q−1(4)S_{n} = \frac{a_{1}*(q^n-1)}{q-1}\quad\quad(4)

公式（4）便是我们最终得到的等比数列求和公式。

回到我们最初的序列（1），我们运用（4）式计算前 n 的和，是不是和最初找规律所得到的结果一样呢？