映射（映射的意思）

 

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预备知识　集合

　　 给定集合 AA 和 BB，我们可以从 AA 中每一个元素上拉一根线连接到 BB 中的某一个元素，这些线的分布形式就被称为一个从 AA 到 BB 的映射（mapping）， 也叫算符（operator）．将这个映射记为 ff， AA 叫做 ff 的定义域（domain）， BB 叫做到达域（codomain）1， BB 中被线连接到的元素的集合叫做 ff 的值域（range）2或像（image）． 我们一般将 “ff 是从 AA 到 BB

的映射” 记为

f:A→B(1)\begin{align}&f:A\to B&(1)\\\end{align} 也就是说从 AA 的元素上拉线到 BB 的元素上． 有时候， 为了表示映射的定义域 AA 是另一个集合的 SS

的子集， 我们也会将映射记为

f:A⊆S→B(2)\begin{align}&f: A\subseteq S \to B&(2)\\\end{align} 注意映射是有方向区分的，比如在上面的例子中， AA 中每个元素都有且只有一根线拉出去， 但是 BB 中的元素可以同时被一根或多根线连接的， 也可以没有连接（即不在值域中）．

映射的类型

定义1

如果映射 f:A→Bf:A \to B 中每个 BB 中元素只被 1 根或者 0 根线连接，那么称 ff 是一个单射（injection）． 如果 f:A→Bf:A\to B 中每个 BB 中元素都被至少 1 根线连接， 那么称 ff 是一个满射（surjection）． 如果 ff 既是单射又是满射，那么称它为一个双射（bijection）， 或者叫一一对应（one-to-one correspondence）． 图 1：映射的分类

　　 如果 f:A→Bf:A\to B 是一个双射，那么 AA 中每一个元素都唯一地连接到 BB 中某一个元素，并且 BB 中每一个元素也都唯一被 AA 中某一个元素所连接，因此很明显可以将这个过程反过来，从 BB 中向 AA 中拉连接线．另外，如果 AA 和 BB 存在双射，意味着 AA 和 BB

的元素数量应该一致3．

　　 函数是一种常见的映射， 例如 f(x)=2xf(x) = 2x 可以看作映射 f:R→Rf: \mathbb R \to \mathbb R

． 但是映射可以从任意集合到任意集合． 例如将整数映射到正多边形， 将函数的映射到函数或实数（一般把这种映射称为算符）等．

　　 注意当一个集合中有无限个元素时， 我们有可能在它的子集和它本身之间建立一一映射， 例如函数 tan⁡(x)\tan\left(x\right) 可以从实轴的开区间 (−π/2,π/2)(-\pi/2, \pi/2) 一一映射到整个实轴 R\mathbb R， 又例如我们可以将全体整数 Z\mathbb Z 乘以二后一一映射到全体偶数 2Z2\mathbb Z

上． 这时我们仍然认为这两个集合的元素一样多， 虽然直觉上可能不容易接受．

Cantor-Bernstein 定理显示，如果集合 AA 到集合 BB 上存在一个单射 ff 和一个满射 gg，那么总可以利用 ff 和 gg 来构造出一个双射．

多元运算

　　 有时候我们需要将两个集合 A,BA, B 中任意各取一个元素， 然后映射另一个集合 CC

中的元素， 称为二元运算（binary operation）． 我们可以使用笛卡尔积（式 2 ）将这个映射表示为

A×B→C(3)\begin{align}&A \times B \to C&(3)\\\end{align} 一个简单的例子就是两个实数的的加法减法或乘法可以表示为 R×R→R\mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R （或简记为 R2→R\mathbb R^2 \to \mathbb R）， 但除法不可以， 因为除数的集合不是 R\mathbb R 而是 R\mathbb R 去掉 00

．

　　 同理， 多元运算可以用多个卡氏积表示为

A1×⋯×AN→C(4)\begin{align}&A_1 \times \dots \times A_N \to C&(4)\\\end{align} 例如含有 NN 个自变量的函数就是一个 NN 元运算． 特殊地， NN 个相同集合 AA 做卡氏积可以简单表示为 ANA^N， 例如 NN 个有序复数的集合为 CN\mathbb C^N．

相等和拓展

　　 当映射（算符） f:A→Bf:A\to B 和 g:C→Dg:C\to D 的定义域相等（A=CA = C）且对任意 x∈Ax\in A 都有 fx=gxfx = gx， 那么我们就说两个映射（算符）相等， 记为 f=gf = g

， 否则它们就不相等．

　　 若 AA 是 CC 的子集（A⊆CA\subseteq C）， 我们就说 gg 是 ff 的拓展（extension）， 记为 f⊆gf \subseteq g． 特殊地， 当 AA 是 CC 的真子集（A⊂CA\subset C）， 就记为 f⊂gf \subset g．

复合映射

　　 给定两个映射 f:A→Bf:A\to B 和 g:C→Dg:C\to D， 如果 ff 的值域 RR 是 gg 的定义域 CC 的一个子集， 则可以定义符合映射 g∘f:A→Dg\circ f: A\to D， 即先将 AA 中的元素通过 ff 映射到 R⊆CR \subseteq C， 再通过 gg 映射到 DD 的元素． 在没有歧义的情况下也可以将 ∘\circ

省略， 尤其是将映射称为算符时．

　　 复合映射常见的例子是复合函数， 令 R\mathbb R 上的函数 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x， g(x)=x2g(x) = x^2， 则复合函数 g∘f:R→[0,1]g\circ f: \mathbb R \to [0, 1] 为 (g∘f)(x)=g(f(x))=sin2⁡x(g\circ f)(x) = g(f(x)) = \sin^2 x

．

　　 根据定义， 复合映射满足分配律， 令 f,g,hf, g, h

为映射， 则

h∘(g∘f)=(h∘g)∘f(5)\begin{align}&h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f&(5)\\\end{align}

恒等映射

　　 若一个集合到它子集的映射 f:X→Xf:X\to X 把任意 x∈Xx\in X 映射到 xx 本身， 我们就叫它恒等映射（identity map）或者单位算符（unit operator）， 通常用 II 或 EE 表示． 注意对不同集合 XX， 它们的单位算符定义域并不相等， 所以它们的单位算符也不相等．

逆映射

　　 给定集合 A,BA, B，定义 BAB^A 为 “从 AA 到 BB 的所有可能的映射所构成的集合”．如果 BB 是一个二元集合，即它只有两个元素，不妨记为 B={0,1}B=\{0,1\}，那么 BAB^A 可以用来表示 AA 的幂集，即由 AA 的所有子集所构成的集合．这是因为对于任意的 f∈BAf\in B^A，我们可以把这个 ff 对应到 AA 的子集 SS，其中 SS 的元素全都被 ff 映射到 1 上，A−SA-S 的元素全都被 ff 映射到 0 上．当然，0 和 1 的地位反过来也可以．由于这个特点，我们简单地把 AA 的幂集记为 2A2^A

4.

　　 对于映射 f:A→Bf:A\to B，可以定义其逆映射 f−1:2B→2Af^{-1}:2^B \to 2^A．对于 BB 的任意子集 CC

，有：

f−1(C)={x|x∈A,f(x)=C}(6)\begin{align}&f^{-1}(C) = \left\{x | x \in A, f(x) = C \right\}&(6)\\\end{align} 　　 此时，f−1(C)f^{-1}(C) 称为 CC 在 ff

下的逆像（inverse image）或原像（preimage）．

　　 特别地，和 ff 的值域中不相交的 CC 被 f−1f^{-1} 映射到空集上，而空集也是 AA 的一个子集．如果 ff 是一个双射，那么对于任意 y∈By\in B，单元素子集 {y}\{y\} 都被 f−1f^{-1} 映射在 AA 的某个单元素子集上，那么我们也可以认为此时 f−1f^{-1} 实际上是单个元素映射在单个元素上，也就是从 BB 到 AA

的映射．

　　 对于任意单射 f:A→Bf:A\to B， 令其值域为 R⊆BR \subseteq B， 那么 f:A→Rf:A\to R 就是一一映射， 所以我们总可以唯一地定义其逆映射 f−1:R⊆B→Af^{-1}:R \subseteq B \to A

．

　　 对于双射 f:A→Bf:A\to B， 显然 f∘f−1f\circ f^{-1} 和 f−1∘ff^{-1}\circ f 都是单位算符（恒等映射）．注意两者的定义域分别为 AA 和 BB， 当 A≠BA \ne B 时不能写成 f∘f−1=f−1∘ff\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f．如果把 AA，BB 到自身的恒等映射分别记为 IAI_A 和 IBI_B，那么 f∘f−1=IBf\circ f^{-1}=I_B，f−1∘f=IAf^{-1}\circ f=I_A．

例1

　　 如果取正弦函数 y=sin⁡xy = \sin x 的值域为 R=[−1,1]R = [-1, 1] 如果取定义域为 R\mathbb R， 那么它不是一个单射， 因为每一个 y∈Ry \in R 都对应无穷个 xx， 所以不存在反函数． 但如果取定义域为 [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2]， 那么它是一个单射， 存在反三角函数 sin−1:[−1,1]→[−π/2,π]\sin^{-1}: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi]

．

　　 根据以上定义， sin−1⁡(sin⁡(x))\sin^{-1} ( \sin\left(x\right) ) 是定义在 [−π/2,π/2][-\pi/2, \pi/2] 上的恒等函数， 而 sin⁡(sin−1⁡(x))\sin\left(\sin^{-1}(x)\right) 是定义在 [−1,1][-1, 1] 上的恒等函数， 所以有 sin∘sin−1⊆sin−1∘sin\sin \circ \sin^{-1} \subseteq \sin^{-1} \circ \sin

．

1. 也叫陪域、上域、目标集（target set）

2. 值域在一些文献中指的是到达域．

3. 本书中统一使用这种定义． 一些其他教材中也把我们的 “单射” 称为 “一一映射”， 把 “满射” 称为 “到上”， 把 “双射” 称为 “一一到上”， 需要特别小心．

4. 当 AA，BB 都是有限集的时候，|BA|=|B||A||B^A|=|B|^{|A|}．特别地，．|2A|=2|A|．|2^A|=2^{|A|}．