映射 (3)(三种映射关系)

2023-07-25 21:26:48 阅读:

 

引入映射是为了呼应集合,用整体的观点看待事物的变化。有了映射,就可以在“某种变化将一个元素对应到一个元素”的基础上,认识这样的变化。然而我们不想局限于关注一个元素对应到哪个元素,还想关注一系列元素对应到哪些元素,或者一系列元素是由哪些元素对应的。

X,YX,Y 是集合, ffX→YX\to Y 的映射, X1X_1XX 的子集。定义 ffX1X_1 上的像

f(X1)={f(x):x∈X1}.f\left(X_1\right)=\left\{f\left(x\right):x\in X_1\right\}.

特别地,称 ffXX 上的像 f(X)f\left(X\right)ff 的值域。

运用映射限制的观点, f(X1)f\left(X_1\right) 其实就是 ffX1X_1 上的限制的值域。当 ff 是变换时,所谓 ffX1X_1 上是不变的,就是 f(X1)⊆X1.f\left(X_1\right)\subseteq X_1. 此时,可以将 f|X1\left. f\right|_{X_1} 看做是 X1X_1 上的变换。

有了映射的像,回去理解有关集合族的内容,就会觉得比较自然。例如对于集合族 X,\mathfrak X, 我们规定 XC={XC:X∈X},\mathfrak X^\mathrm C=\left\{X^\mathrm C:X\in\mathfrak X\right\}, 是因为将 XC\mathfrak X^\mathrm C 看做是集合的补运算在集合族 X\mathfrak X 上的像。

Y1Y_1YY 的子集。定义 ffY1Y_1 上的原像

f−1(Y1)={x:f(x)∈Y1}.f^{-1}\left(Y_1\right)=\left\{x:f\left(x\right)\in Y_1\right\}.

值得注意的是原像的性质往往比像更好。例如我们已经知道,值域 f(X)f\left(X\right) 不一定等于到达域 Y,Y, 但是容易看出, YY 的原像 f−1(Y)f^{-1}\left(Y\right) 一定等于 X.X. 事实上,原像的好处还有更多。

我们考虑像和原像与集合运算的关系。设 X1,X2X_1,X_2XX 的子集, Y1,Y2Y_1,Y_2YY 的子集,考虑以下六个命题

f(X1∩X2)=f(X1)∩f(X2);f\left(X_1\cap X_2\right)=f\left(X_1\right)\cap f\left(X_2\right); f(X1∪X2)=f(X1)∪f(X2);f\left(X_1\cup X_2\right)=f\left(X_1\right)\cup f\left(X_2\right); f(X1C)=(f(X1))C;f\left(X_1^\mathrm C\right)=\left(f\left(X_1\right)\right)^\mathrm C; f−1(Y1∩Y2)=f−1(Y1)∩f−1(Y2);f^{-1}\left(Y_1\cap Y_2\right)=f^{-1}\left(Y_1\right)\cap f^{-1}\left(Y_2\right); f−1(Y1∪Y2)=f−1(Y1)∪f−1(Y2).f^{-1}\left(Y_1\cup Y_2\right)=f^{-1}\left(Y_1\right)\cup f^{-1}\left(Y_2\right). f−1(Y1C)=(f−1(Y1))C.f^{-1}\left(Y_1^\mathrm C\right)=\left(f^{-1}\left(Y_1\right)\right)^\mathrm C.

接下来指出,后三个命题都是正确的,然而前三个命题只有第二个是正确的。也就是说,求像的过程只能与集合的并运算交换,但是求原像的过程可以与全部三种集合运算交换。

我们只针对第一个和第三个命题举反例。取 X=Y={a,b,c},X=Y=\left\{a,b,c\right\}, 其中 a,b,ca,b,c 是两两不等的元素,取 ff 使得 f(a)=f(b)=b,f\left(a\right)=f\left(b\right)=b, f(c)=c,f\left(c\right)=c, X1={a,c},X_1=\left\{a,c\right\}, X2={b,c},X_2=\left\{b,c\right\},

f(X1∩X2)={c},f(X1)∩f(X2)={b,c}.f\left(X_1\cap X_2\right)=\left\{c\right\},\quad f\left(X_1\right)\cap f\left(X_2\right)=\left\{b,c\right\}. f(X1C)={b},(f(X1))C={a}.f\left(X_1^\mathrm C\right)=\left\{b\right\},\quad \left(f\left(X_1\right)\right)^\mathrm C=\left\{a\right\}.

最后,直接指出有关交和并运算的结论可以推广到集合族。设 X,Y\mathfrak X,\mathfrak Y 分别是由 X,YX,Y 的一些子集构成的集合族,将 ff 看做是 PX→PY\mathrm PX\to\mathrm PY 的映射,自然地定义 ff 的像族和原像族

f(X)={f(X1):X1∈X};f\left(\mathfrak X\right)=\left\{f\left(X_1\right):X_1\in\mathfrak X\right\};

f−1(Y)={f−1(Y1):Y1∈Y}.f^{-1}\left(\mathfrak Y\right)=\left\{f^{-1}\left(Y_1\right):Y_1\in\mathfrak Y\right\}.

也就是说,像族和原像族是将 ff 看做是 PX→PY\mathrm PX\to\mathrm PY 的映射时的像和原像。则成立

f(⋃X)=⋃f(X);\textstyle f\left(\bigcup\mathfrak X\right)=\bigcup f\left(\mathfrak X\right); f−1(⋂Y)=⋂f−1(Y);\textstyle f^{-1}\left(\bigcap\mathfrak Y\right)=\bigcap f^{-1}\left(\mathfrak Y\right); f−1(⋃Y)=⋃f−1(Y).\textstyle f^{-1}\left(\bigcup\mathfrak Y\right)=\bigcup f^{-1}\left(\mathfrak Y\right).


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