拉普拉斯变换简介（拉普拉斯变换讲解）

 

一、拉普拉斯变换的定义

定义：设函数f(x)是(0,+∞）上的分段连续函数，则其拉普拉斯变换是如下积分的结果：

0">F(s)=L[f(x)]=∫0∞f(x)e−sxdx,Re(s)>0F(s)=L[f(x)]=\int_{0}^{\infty}f(x)e^{-sx}dx,Re(s)>0

F(s)F(s) 称为f(x)f(x) 的像函数，f(x)f(x) 称为F(s)F(s) 的原函数。

一些常用函数的拉普拉斯变换表如下：

序号原函数像函数1.11/s2.x1/s²3.x²2!/s³4.x³3!/s^45.e^(ax)1/(s-a)6.cos(ax)s/(s²+a²)7.sin(ax)a/(s²+a²)

熟练背下这几个变换，就足可以应对绝大部分的题目了。拉普拉斯变换的作用有点像中学的对数，对数能把乘除乘方开方化成加减乘除，而拉普拉斯变换能把微积分的式子化成代数式。若把对数也当做变换的话，其过程就是对乘除的式子取对数，查对数表，运算，查反对数表得出结果；拉普拉斯变换的作用也是这样，对微积分的式子取拉普拉斯变换，查变换表，运算，查反变换得出结果。

二、举例

求函数 f(x)=4x2−3cos⁡2x+5e−xf(x)=4x^2-3\cos 2x+5e^{-x} 的拉普拉斯变换。

利用上面的表格可得:

F(s)=L[f(x)]=L[4x2−3cos⁡2x+5e−x]=42!s3−3ss2+4+51s+1F(s)=L[f(x)]=L[4x^2-3\cos 2x+5e^{-x}] =4\frac{2!}{s^3}-3\frac{s}{s^2+4}+5\frac{1}{s+1}

三、移位定理

有许多函数是由函数本身乘上一个指数函数组成的，例如： e−xsin⁡2xe^{-x}\sin 2x ,我们有如下的移位定理：若已知 f(x)f(x) 的变换是 F(s)F(s) ，则 eaxf(x)e^{ax}f(x) 的变换是 F(s−a)F(s-a)

例如：已知 L[cos⁡2x]=ss2+4L[\cos 2x]=\frac{s}{s^2+4} ,则 L[e−xcos⁡2x]=(s+1)(s+1)2+4L[e^{-x}\cos 2x]=\frac{(s+1)}{(s+1)^2+4}

四、导数的变换

为了能用于解微分方程，这条定理必须记牢。若 L[f(x)]=F(s)L[f(x)]=F(s) ,则导数的变换是：

L[f′(x)]=sF(s)−f(0)L[f(x)]=sF(s)-f(0)

L[f″(x)]=s2F(s)−sf(0)−f′(0)L[f(x)]=s^2F(s)-sf(0)-f(0)

......

例如：已知 L[f(x)]=ss2+9L[f(x)]=\frac{s}{s^2+9} , f(0)=1f(0)=1 则 L[f′(x)]=sss2+9−1=−9s2+9L[f(x)]=s\frac{s}{s^2+9}-1=\frac{-9}{s^2+9}

五、积分的变换

为了能用于解积分方程，这条也要牢记。若 L[f(x)]=F(s)L[f(x)]=F(s) ,则积分的变换是：

L[∫0xf(t)dt]=F(s)sL[\int_{0}^{x}f(t)dt]=\frac{F(s)}{s}

例如：已知 L[f(x)]=ss2+9L[f(x)]=\frac{s}{s^2+9} ,则 L[∫0xf(t)dt]=ss2+91s=1s2+9L[\int_{0}^{x}f(t)dt]=\frac{s}{s^2+9}\frac{1}{s}=\frac{1}{s^2+9}

六、用于求积分

由于变换本身就是个积分： F(s)=∫0∞f(x)e−sxdxF(s)=\int_{0}^{\infty}f(x)e^{-sx}dx ,若我们令 s=0s=0 ,则有如下公式：

F(0)=∫0∞f(x)dxF(0)=\int_{0}^{\infty}f(x)dx 即要求这个积分，只要令其拉普拉斯变换的s=0s=0即可求出，不过要求积分本身收敛才行。举例如下：

例1.已知L[e−xcos⁡2x]=(s+1)(s+1)2+4L[e^{-x}\cos 2x]=\frac{(s+1)}{(s+1)^2+4}，求积分： I=∫0∞e−xcos⁡2xdxI=\int_{0}^{\infty}e^{-x}\cos 2xdx

积分本身是存在的，所以只要令 s=0s=0即可得出：

I=∫0∞e−xcos⁡2xdx=(s+1)(s+1)2+4|s=0=15I=\int_{0}^{\infty}e^{-x}\cos 2xdx=\frac{(s+1)}{(s+1)^2+4}|_{s=0}^{}=\frac{1}{5}

七、用于解微分方程

利用拉普拉斯变换的微分积分变换定理，就可以把微分方程转化成代数方程来解，下面通过举例来感受一下。

例2.解微分方程： y′+y=x,y(0)=1y+y=x,y(0)=1

对方程两端取拉普拉斯变换： L[y′+y]=L[x]L[y+y]=L[x]

sY(s)−f(0)+Y(s)=1s2sY(s)-f(0)+Y(s)=\frac{1}{s^2} ，将初始条件代入，解出 Y(s)Y(s) 得：

Y(s)=1+s2s2(s+1)=1s2−1s+2s+1Y(s)=\frac{1+s^2}{s^2(s+1)}=\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{2}{s+1}

再查表反变换（记熟了就直接来）即可得出微分方程的解是：

y=x−1+2e−xy=x-1+2e^{-x}

习题：

1.求函数的拉普拉斯变换：

（a） f(x)=xe−xf(x)=xe^{-x}

（b） f′(x)=1+x,f(0)=0f(x)=1+x,f(0)=0

2.解微分方程：

y′−2y=e−x,y(0)=1y-2y=e^{-x},y(0)=1

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