拉普拉斯变换 (Laplace Transform)（拉普拉斯变换的对称性）

1.拉普拉斯变换的定义与基本性质：

傅里叶变换对于微积分方程的应用的实质性限制是，这个变换仅仅对在整个直线上可和的函数才有定义，特别，傅里叶变换对于当 x→−∞x\rightarrow{-\infty} 或 x→∞x\rightarrow{\infty}时增长的函数不存在，而这样的函数当解微分方程时常常出现。把傅里叶变换推广到广义函数后，可以克服这一困难。关于这一方法，我们将在稍后的文章中简短的叙述。不越出函数的古典概念和古典分析方法的范围的可能途径是，用所谓的拉普拉斯变换代替傅里叶变换。

如果函数 ff(一般说来，它整个直线上不可积)在乘以 e−λxe^{-\lambda{x}} 以后变为可积的，其中 γ\gamma 是某个实数，则积分

g(s)=∫−∞∞f(x)e−isxdx=∫−∞∞f(x)e−ixλe−xμdxg(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-isx}dx=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-ix\lambda}e^{-x\mu}dx\\

对于某个复数 s=λ+iμs=\lambda+i\mu是收敛的，特别，它在直线 μ=−γ\mu=-\gamma上收敛，在这条直线上，

是函数 f(x)e−λxf(x)e^{-\lambda{x}}的傅里叶变换。对于应用，最重要的情况，即我们关于函数 f(x)e−γxf(x)e^{-\gamma{x}}e可积的假设成立的情况是 f f 满足如下条件：

{|f(x)|<Ceγ0x,x≥0f(x)=0,x<0[1] \ \ \begin{cases} \ \left|f(x)\right|<Ce^{\gamma_{0}x},\ \ \ \ \ x \geq 0 \\\ \ \ f(x)=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ x<0\end{cases}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ [1]

(其中 γ0\gamma_{0} 与 CC是常数 )。

对于所有 μ<−γ0\mu<-\gamma_{0}的 s=λ+iμs=\lambda+i\mu,即在由直线 Ims=−γ0Ims=-\gamma_{0} 所界定的半平面上，积分

g(s)=∫−∞∞f(x)e−isxdx=∫0∞f(x)e−isxdx[2] g(s)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-isx}dx=\int_{0}^{\infty}f(x)e^{-isx}dx\ \ \ \ \ \ \ [2]

存在并且是函数 f(x)eμxf(x)e^{\mu{x}}的傅里叶变换，这后一点可由 gg 借助反演公式而得到（我们假设 ff 满足使用反演公式的条件）：

f(x)eμx=12π∫0∞g(s)eiλxdλf(x)e^{\mu{x}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}g(s)e^{i\lambda{x}}d{\lambda}\\

s=λ+iμs=\lambda+i\mu ，由此：

f(x)=12π∫iμ−∞iμ+∞g(s)eisxds[3]f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{i\mu-\infty}^{i\mu+\infty}g(s)e^{isx}ds\ \ \ \ \ \ \ \ \ [3]

因为函数 f(x)eμxf(x)e^{\mu{x}}当 μ<−γ0\mu<-\gamma_{0}时如指数函数那样减小（由于(1)式i），它的傅里叶变换 gg 以及 g(s)eisxg(s)e^{isx}是在半平面 Ims<−λ0Ims<-\lambda_{0}内的解析函数。

现在，公式(2)与(3)中令 p=isp=is，并作代换：用 Φ(p)\Phi(p)来表示g(x)g(x) 我们得到：

Φ(p)=∫0∞f(x)epxdx[2′]\Phi(p)=\int_{0}^{\infty}f(x)e^{px}dx \ \ \ \ \ \ \ \ \ [2]

及

f(x)=12π∫−μ−i∞−μ+i∞Φ(p)epxdpi=12πi∫−μ−i∞−μ+i∞Φ(p)epxdp[3′]f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\mu-i\infty}^{-\mu+i\infty}\Phi(p)e^{px}\frac{dp}{i}=\frac{1}{2\pi{i}}\int_{-\mu-i\infty}^{-\mu+i\infty}\Phi(p)e^{px}dp \ \ \ \ \ \ \ \ \ [3]

函数 Φ\Phi在半平面 \gamma_0">Rep>γ0Rep>\gamma_0 内有定义且解析，它称为(满足条件(1)的)函数 ff 的拉普拉斯变换 稍后将更新傅里叶—斯蒂尔切斯变换。