一个球面直角三角形，有 10 个关于边和角的三角恒等式，Napier（纳皮尔，对，就是发现对数那个人）提供了一种助记方法，称为 Napier 圆或者 Napier 五边形。

球面直角三角形 ABC

对于如上图所示的球面直角三角形 ABCABC ，首先按次序将其三条边和三个角写成一圈，比如 aCbAcBaCbAcB ，然后将不与直角 CC 相邻的边和角用余角替换，即将 A,c,BA,c,B 替换为 π2−A,π2−c,π2−B\frac \pi 2-A,\frac \pi 2-c,\frac \pi 2-B ，同时去掉直角 CC 。这样，剩余的部分就按次序排成一个圆圈（或五边形），如图所示。

球面直角三角形的 Napier 规则

对图中五个元素中的任意一个元素来说，其他四个元素分为两组，相邻组，和相对组。如对于 aa 来说， b,π2−Bb,\frac \pi 2-B 是相邻组， π2−c,π2−A\frac \pi 2-c,\frac \pi 2-A 是相对组，Napier 规则由以下两条给出：

一个元素的正弦等于相邻组的正切的乘积；一个元素的正弦等于相对组的余弦的乘积。

例如，

sin⁡(π2−B)=tan⁡atan⁡(π2−c)\sin(\frac \pi 2-B)=\tan a\tan(\frac \pi 2-c) ，即 cos⁡B=tan⁡atan⁡c\cos B=\frac{\tan a}{\tan c} ；

或者 sin⁡(π2−B)=cos⁡(π2−A)cos⁡b\sin(\frac \pi 2-B)=\cos(\frac \pi 2-A)\cos b ，即 cos⁡B=sin⁡Acos⁡b\cos B=\sin A\cos b 。

这一规则可以应用到另一种球面三角形，就是一条边是 π2\frac \pi 2 的球面三角形。事实上，一条边是 π2\frac \pi 2 的球面三角形和一个球面直角三角形互为球极对称三角形，或者简称球极三角形。

定理 球极三角形的边长与原三角形的对应角之和为 π\bm \pi .

所以对于如下图一条边是 π2\frac \pi 2 的球面三角形，只需要先研究其球极三角形，应用 Napier 规则写出边角关系，然后利用上述定理将边和角代换即可。

一条边是 pi/2 的球面三角形（黑色虚线）和其球极三角形（红色实线）