帕斯卡三角形一直计算下去后，是否最后一行会变成一个正态分布曲线？-帕斯卡三角形内角和证明方法
首先, 杨辉三角不存在最后一行, 齐次, 杨辉三角的值都是离散的, 而正态分布曲线是连续的.
不过, 我也知道你是什么意思, 你想问的是.
将杨辉三角计算到充分大行数后, 这个三角的最后一行的值, 是否近似满足正态分布规律.
答案是肯定的, 证明如下.
设有一个充分大 nn ,
(注意充分大)
则有杨辉三角第 nn 行的值为:
1Cn1Cn2Cn3⋯Cnn−11\begin{matrix} 1&C_n^1&C_n^2&C_n^3\cdots&C_n^{n-1}&1 \end{matrix}
而因为
∑a=0nCna=2n\begin{align} \sum_{a=0}^{n}{C_n^a}=2^{n} \end{align} , 所以, 如果我们将上面的值都除以 2n2^{n}
12nCn112nCn212nCn312n⋯Cnn−112n12n\begin{align} \begin{matrix} \frac{1}{2^{n}}&C_n^1\frac{1}{2^{n}}&C_n^2\frac{1}{2^{n}}&C_n^3\frac{1}{2^{n}}\cdots&C_n^{n-1}\frac{1}{2^{n}}&\frac{1}{2^{n}} \end{matrix} \end{align}
而对于其中的任意一个值 Cna12n\begin{align} C_n^a\frac{1}{2^{n}} \end{align} ,
都可以看成一个 nn 重伯努利实验 X∼B(n,12)\begin{align} X\sim B(n,\frac12) \end{align} 成功 aa 次的概率.
所以, 杨辉三角的第 nn 行的每一个值, 都可以看成是若干个二项分布的加和
(因为 ∑i=1nXi=X\begin{align} \sum_{i=1}^{n}{X_i}=X \end{align} , Xi∼B(1,12)\begin{align} X_i\sim B(1,\frac12) \end{align} 且 XiX_i 相互独立.).
即 Cna=∑i=1nXi\begin{align} C_n^a=\sum_{i=1}^{n}{X_i} \end{align}
而根据, 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
limn→∞P{n∑a=1Xi−np√np(1−p)⩽x}=Φ(x)\begin{align} \lim_{n\to\infty}{P\left\{\frac{\sum\limits_{a=1}^{n}{X_i-np}}{\sqrt{np(1-p)}}\leqslant x\right\}}=\Phi(x) \end{align}
无穷个相互独立的二项分布的和趋于正态分布,
所以杨辉三角的第 nn 行的值除以 \begin{align} \frac{1}{2^{n}} \end{align} , 会大致服从
\begin{align} N\sim(\frac{n}{2},\frac{n}{4}) \end{align} 的正态分布.
我们用程序计算看看?
不错不错, 完美符合.
所以, 将杨辉三角计算到充分大行数后, 这个三角的最后一行的值, 是满足或者近似满足正态分布规律的.
