薛定谔方程的详细推导过程-薛定谔方程的详细推导过程是什么

 

原标题：薛定谔方程的详细推导过程

我们在初中都学过物理，知道电子绕着一个坚硬的原子核快速运动，有点像太阳系中各个行星绕着太阳转，这个模型被称为“卢瑟福行星模型”。其实在这个模型之前，还有“枣糕模型”，在这个"枣糕模型"中，电子就像大枣一样，一个一个被镶嵌在糕点里，这个模型是汤姆逊（英国物理学家，1856-1940）提出来的。也就是说，在20世纪初，科学家们对原子内部到底是个什么样子并不清楚，只能通过各种实验去猜测，卢瑟福（英国物理学家，1871-1937）就做了非常著名的粒子散射实验，得出结论，在原子的中心应该有一个非常坚硬的“核”，而其它地方都是空的，电子则在绕着核旋转，大致就是下面这张图展示的样子。

原子的行星模型

如果不仔细想的话，行星模型似乎是顺利成章的，因为经典的牛顿力学在解释行星运动规律方面简直是游刃有余，可以说一切尽在掌握中，将行星模型搬到原子内部也是自然而然的事情。但是如果仔细一想的话，这里有一个很大的漏洞，比如地球虽然绕着太阳在转，但是地球并不会掉在太阳上，这个道理很简单，用牛顿力学就能说得清楚，因为太阳与地球有万有引力，而这个引力恰好等于地球绕太阳旋转时的向心力，即：万有引力=向心力，所以地球就可以一直绕着太阳转，没事，不用担心地球会一头撞在太阳上，再说外太空也没有空气阻力，也没有“以太”，是彻底的真空地带，地球不会遇到任何的阻力，永远绕着太阳旋转。

可是行星模型用在原子内部就出问题了，电子是带负电荷，原子核带正电荷，正电荷与负电荷之间有库仑力，库伦力与万有引力在形式上很像，下面这个表就对库伦力与万有引力做了比对。

库伦定律与万有引力定律

按照我们上面说的，库仑力可以充当电子绕核旋转所需的向心力，这样就可以一直旋转下去而不至于撞在原子核上，但问题恰恰就出在这里，地球是整体不带电荷的，太阳也是，引力与电荷无关，但是电子带负电，原子核带正电，库仑力确实可以用作电子绕核的向心力，只不过电子在绕核运动的时候相当于一个变化的电流，并且向外辐射电磁能量，随着电子能量很快被消耗，瞬间电子就会一头撞在原子核上，与原子核拥抱在一起，如果这种情况发生的话，诺大的地球就可能就会缩成一个乒乓球大小的体积，但是现实却是电子永远都在绕着原子核旋转，不会撞在原子核上，地球也没有缩成乒乓球，这又怎么解释呢？

解释这个问题很难，物理学家们都在为解释这个问题而努力，玻尔（丹麦物理学家，1885-1962）给出了初步的设想，认为电子虽然说是绕着原子核在告诉运转，但是电子必须在特定的轨道上运动，而这样的轨道本身是量子化的，不是连续的，说得通俗一些，电子只能在特定的轨道上运动，不能“随便乱跑”，如此一来，电子就不会撞到原子核上了。再说通俗一些，玻尔其实是用“结果”解释了“原因”，因为"电子只能在固定轨道上运动"，所以"电子只能在固定轨道上运动"，自然不能掉进原子核里了。

玻尔的解释比较勉强，但是有一个事情玻尔是说对了，就是电子是在特定的轨道上运动的，而这样的轨道不是连续的，是量子化的轨道。至于电子为什么不能掉进核里，还需要等另一个伟大人物的出现。

在玻尔提出氢原子轨道模型13年之后，这个伟大人物出现了，就是薛定谔（奥地利物理学家，1887-1961），提出了量子力学中最基本的力学方程：薛定谔方程，完美解释了电子为何不会掉进核里。

在我们传统理解中，电子应该是一个小球球，绕着原子核在旋转，其实这种理解是来自我们对宏观物质的观察，自然而然代入的，实际上微观粒子并不是简单的“实心小球”，而是具有“波粒二象性”，通俗说，微观粒子既可以看成“实心小球”，也可以看成"波"，这个特点与光子一样。最先提出粒子有"波粒二象性"的是一个法国人，名叫德布罗意（法国物理学家，1892-1987），认为所有的物质都具有波动性，被称为“物质波”。既然电子可以被看成一种“波”，那么波动方程在哪里呢？

1926年，薛定谔提出了量子力学最重要的基本方程，薛定谔方程。

薛定谔（1887-1961）

现在就到了我们这篇文章的重点了，我们要推导薛定谔方程。

1、既然我们把电子看成了“波”，那我们看看一般的“波”长成什么样子？

单色平面波

我们考察一个最简单的单色平面波，就像上图一样，非常简单，角频率，周期，振幅，频率，波长，与普通的波没有什么区别，我们有：

根据爱因斯坦的光量子理论，一个粒子的能量 ，这里的是普朗克常数，是频率。此外，为了让公式看起来简约，定义约化的普朗克常数

再定义波矢

我们还要引入德布罗意的物质波公式 ，这里的是粒子的动量，对物质波公式做一些变换

得到

同时，我们对波的角频率也做一些变换，

到此，我们针对最普通的单色平面波的基本公式就完成了推导。

2、对于一个单色平面波，我们通常给出的波函数可以表示成余弦函数，或者正弦函数，类似

这里引入非常著名的欧拉公式

利用欧拉公式，我们就可以把上面的实数波函数，转变成带虚数的指数函数

也就是，

我们把上面推导出来的 ，以及 代入上面的波函数，就会有

方程(1) ，同时我们把坐标位置换成

方程（1）是我们把粒子看成“波”之后得出的波函数，但是这个波函数还不是一个运动方程，我们需要波函数的运动方程。

3、我们对方程（1）对时间进行一阶微分,我们就会得到: 方程（2）

请注意，我们这里应用了一个微分定理

接着，对求的二阶微分，看看有什么结果？

二阶微分 方程（3）

我们把方程（2）的两边都乘以虚数和，我们会得到： ，这里我们利用了虚数的性质：

即： 方程（4）

对方程（3）的两边乘以，并且把负号放在另一边，有：

即： 方程（5）

4、现在，我们要对求一阶微分。

即： 方程（6）

这里，我们依然使用了微分的一个定理，

我们对方程（6）的两边乘以，并且把负号挪到另一边

即： 方程（7）

接着，我们继续对进行的二阶微分

即： 我们接着把和负号挪到另一边，就会有： 方程（8）

5、现在我们把我们推导出来的方程（4）、（5）、（7）、（8）放在一起

6、好，到这里，我们已经成功了一大半了，不过还差一点。这里既然有能量，动量，那么这两者之间又有什么联系呢？

我们知道，在经典力学中，一个物体的动能 ，动量

两边平方 ，在两边都除以，得到 也就是 方程（9）

7、我们现在对方程（8）的两边乘以

得到：

我们再利用公式（9）把上面方程左边的替换成能量

就会有： 方程（10）

这时候，我们利用方程（4）把上面公式中左边的替换掉

就有： 方程（11）

方程（11）便是鼎鼎大名的薛定谔方程！

我们对方程（11）还要再做点简化工作，用拉普拉斯算符来替换二阶微分的符号

即： 代入方程（11）中得到 方程（12）

方程（12）则是拉普拉斯形式的薛定谔方程，简化了一些。

8、

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