欧拉（Euler）公式-欧拉公式介绍

欧拉公式[1]

在讨论之前，先介绍 eae^{a} 的一个定义，为此我们将使用到以下几个重要极限：

lima→0(1+α)1α=e\lim_{a \rightarrow 0}{(1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}}=e ,

limβ→0ln⁡(1+β)β=1\lim_{\beta\rightarrow 0}{\frac{\ln(1+\beta)}{\beta}}=1 ,

limγ→0arctan⁡γγ=1.\lim_{\gamma\rightarrow 0}{\frac{\arctan\gamma}{\gamma}}=1.

注意到： lim(1+an)n=lim[(1+an)na]a=ea(a≠0)\lim{}(1+\frac{a}{n})^{n}=\lim[(1+\frac{a}{n})^{\frac{n}{a}}]^{a}=e^{a}(a\ne0) 和 lim(1+0n)n=1=e0\lim(1+\frac{0}{n})^{n}=1=e^{0}

于是，我们可以把 eae^{a} 定义为: ea=lim(1+an)n,∀a∈\Re^{a}=\lim(1+\frac{a}{n})^{n},\forall a\in\R .

上面我们只考虑了 aa 为实数的情形，现在，我们要把上式推广到复数范围之中.

定义 对于 c=a+ib∈\Cc=a+ib\in \C ,我们规定： ec=lim(1+cn)n e^c= \lim(1+\frac{c}{n})^n .

但是，我们仍需证明：对任意给定的复数 c=a+ibc=a+ib ,上面定义中的极限必定存在.为此，我们先介绍复数的极坐标表示：

复数 ω=u+iv\omega=u+iv 可以理解为平面直角坐标系中坐标为 (u,v)(u,v) 的点，这点的极坐标为 (r,θ)(r,\theta) ,其中 r=u2+v2r=\sqrt{u^2+v^2} , cos⁡θ=ur,sin⁡θ=vr.\cos\theta=\frac{u}{r},\sin\theta=\frac{v}{r}. 我们把 ω=r(cos⁡θ+isin⁡θ)\omega=r(\cos\theta+i\sin\theta) 称为复数的极坐标表示.采用这种表示来计算复数的乘方特别方便： ωn=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ).\omega^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta).

于是，复数 (1+cn)=(1+a+ibn)(1+\frac{c}{n})=(1+\frac{a+ib}{n}) 可以写成极坐标形式：

(1+a+ibn)=[(1+an)+ibn]n=rn(cos⁡nθ+isin⁡nθ),(1+\frac{a+ib}{n})=[(1+\frac{a}{n})+i\frac{b}{n}]^n\ =r_{n}(\cos n\theta+i\sin n\theta),

这里， rn=[(1+an)2+(bn)2]n2r_{n}=[(1+\frac{a}{n})^2+( \frac{b}{n})^2]^\frac{n}{2} , θn=narctan⁡bn1+an\theta_{n}=n\arctan\frac{\frac{b}{n}}{1+\frac{a}{n}} |a | \right)">(n>|a|)\left( n> |a | \right)

我们有 limln⁡rn=lim[n2ln⁡(1+2an+a2+b2n2)]=lim[n2(2an+a2+b2n2)]=a\lim\ln r_n=\lim[\frac{n}{2}\ln(1+\frac{2a}{n}+\frac{a^2+b^2}{n^2})] =\lim[\frac{n}{2}(\frac{2a}{n}+\frac{a^2+b^2}{n^2})]=a

因而， limrn=limeln⁡rn=ea\lim r_n=\lim e^ {\ln r_n}=e^a .

又 limθn=lim[narctan⁡bn1+an]=lim[nbn1+an]=b\lim\theta_n=\lim[n\arctan\frac{\frac{b}{n}}{1+\frac{a}{n}}]=\lim[n\frac{\frac{b}{n}}{1+\frac{a}{n}}]=b ,这样，我们证明了

lim(1+a+ibn)=ea(cos⁡b+isin⁡b)\lim(1+\frac{a+ib}{n})=e^a(\cos b+i\sin b) ,

ea+ib=ea(cos⁡b+isin⁡b)(4.1)e^{a+ib}=e^a(\cos b+i\sin b) \ \ (4.1)

对于 a=0a=0 的情形有： eib=cos⁡b+isin⁡b(4.2)e^{ib}=\cos b+i\sin b\ (4.2)

由此又有： (4.3)(4.3) cos⁡b=eib+e−ib2sin=eib−e−ib2\cos b=\frac{e^{ib}+e^{-ib}}{2} \ \sin=\frac{e^{ib}-e^{-ib}}{2} .

以上这些公式都称为欧拉公式，利用这些公式，可以很容易的将指数运算的基本关系推广到复指数的情况： ec1ec2=ec1+c2e^{c_1} e^{c_2}=e^{c_1+c_2} (读者自证不难）

由欧拉公式可得

e±i2kπ=1,∀k∈\Z e^{\pm i2k\pi}=1, \forall {k\in \Z}

特别的有 ei2π=1e^{i2\pi}=1 ,这一式子很有意思，它把数中最重要的五个数 1,2,π,e,i1,2,\pi,e,i 联系在一起.

参考