1.4.1 电磁感应现象、电磁感应定律、感应电动势（电磁感应现象的两类情况视频）

4 经典电磁理论(3)——电磁感应、位移电流、麦克斯韦方程组、电磁波第2章和第3章分别介绍了静电学和静磁学理论的基本框架，恒定磁场是由恒定电流建立的，恒定电流的本质是电荷的群体性定向运动，这就说明运动着的电荷能够建立磁场。

自丹麦物理学家奥斯特发现电流的磁效应之后，很多人都从朴素的对称性思想出发去探究磁场是否也能在空间中建立起电场，伟大的电磁理论先驱、英国物理学家法拉第用光辉的实验证明了变化的磁场确实能够做到这一点随后伟大的电磁理论集大成者、英国物理学家麦克斯韦大胆地作出了位移电流假设，建立起描述电磁学自身规律的麦克斯韦方程组，理论上预言了电磁波的存在并很快为实验证实，从而确立了经典电磁理论体系。

物理学从经典力学的建立到经典电磁理论的建立，中间经过了长达186年的时光只研究电磁场自身变化规律的领域一般称为电磁学，如果还研究电荷在电磁场中的运动规律，则称为电动力学本章将介绍电磁学中的电磁感应、位移电流及麦克斯韦方程组和电磁波、准静态电磁场、时谐电磁场。

1.4.1 电磁感应现象、电磁感应定律、感应电动势从静电场和恒定磁场对运动电荷做功的特点出发来讨论磁场会以什么方式在空间中建立电场，并只考虑最简单的情形：假设磁场能够以某种方式在空间中产生恒定不变的电场。

既然电场会对处于其中的运动电荷做功，表明电场自身具有某种形式的能量（这正是前面介绍的电场能），电场对运动电荷做功则电场自身必然会损失能量虽然还没有介绍恒定磁场的能量，但是从最基本的物理观点出发，如果一个东西始终是不变的那么它所具有的能量必然也是不变的。

在上述情形中，既然电场是由磁场以某种方式产生的，那么电场所具有的能量必然由磁场以某种方式提供，然而正如第2章静磁学中所讨论的那样，一个恒定的磁场是无法只依靠自己来对外提供能量的（载流导线中的安培力做功已经在前面讨论了，这部分能量本质上来源于电源），这就说明恒定的磁场不可能产生电场，要产生电场，磁场必须以某种方式变化从而其能量也以某种方式变化才能给其所产生的电场（如果这种变化确实能产生电场的话）提供能量。

以上的纯理论思考是否正确，需要依靠实验来检验在法拉第所处的时代，使磁场以某种方式变化倒并不困难，例如磁场分布随时间的变化可以通过磁体或恒定电流分布区域的空间运动来实现，磁场强度或磁感应强度数值的变化可以通过从外部控制建立这个磁场的恒定电流来实现，实验物理学家们已经掌握了很多种手段。

但是要准确地测量磁场是否能建立起电场却比较困难，首要的原因就是当时的实验条件下即使磁场确实产生了电场，这个电场也不会太强（否则早都应该能在实验上观测到了），其次按照电场强度的定义，需要观测电荷是否受力来判断空间中是否存在电场，然而观测带电质点在电场中运动在当时尚不具备条件（即使是到了数十年后汤姆逊研究真空中的电子流的时代，要使电子流在电场中出现明显偏转也还是需要足够强的电场）。

这该如何是好？当然有办法，既然电场不好直接观测，那就通过观测电场对自由电荷的作用，也就是通过是否会产生电流来间接判断空间中是否出现了电场那么，哪里能提供大量的自由电荷呢？当然就是各种金属导体了于是，相应的实验思路就是：通过观测无源的闭合导体回路是否出现电流（为此还需要准确测量微弱电流的手段，做到这一点远比观测微弱的电场要简单，因为那时已经知道了电流具有磁效应）来判断磁场是否能产生电场，如果能，应当以什么方式产生电场？。

以上叙述的是建立在前面所述的理论的基础上的实验思路，按现代观点看来是十分自然的但是请记住，在法拉第那个时代并没有前面介绍的理论作为进一步探索的出发点法拉第在既缺乏理论指导又极端困难的实验条件下仍然坚持不懈地进行艰苦卓绝的实验工作从而发现了电磁感应现象和电磁感应定律，这正体现了他的伟大之处之一。

这里不再叙述历史上相关实验的种种细节，只给出结论：变化的磁场能够在空间中建立起电场，这就是电磁感应现象更深入的研究表明这样的电场与静止电荷体系建立的静电场有明显的区别，那就是这样的电场对处于其中的电荷施加的电场力在电荷运动的闭合路径上做的功并不为0（因为实验观测到变化的磁场确实在不存在外部电源的闭合导体回路中激发出电流，这只能用变化的磁场所建立的电场实质上起到了维持电流存在的非静电力的作用来解释），这样的电场称为涡旋电场或感生电场，以区别于静止电荷体系建立的静电场或恒定的电荷分布建立的恒定电场。

既然这样的电场是由变化的磁场建立的，而其沿闭合路径的环量并不为0，表明这个积分必然与磁场的变化有直接关系实验表明：变化的磁场所建立的电场沿空间中某一闭合路径的环量，其数值与该磁场穿过该闭合路径围成的曲面的磁通量的变化率成正比，这称为电磁感应定律，写成数学形式就是：。

∮∂SE→⋅dl→=−∂ΦB∂t=−∂∂t∫SB→⋅dS→\oint_{\partial S}\vec{E} \cdot d\vec{l}=-\frac{\partial \Phi_B}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial t}\int_S \vec{B} \cdot d\vec{S}

需要注意的是，曲面SS的面元矢量dS→d\vec{S}的取值实际上有两种可能性，这两种取值大小相等方向相反感生电场的积分路径选取也有两种可能性，从路径上的某点开始既可以朝着一个方向计算也可以朝着相反的方向计算，因此电磁感应定律的数学形式必然会因面元矢量或积分路径的不同组合而存在差异。

实际上经常根据不同问题的特点选择较为方便的积分路径，这时电磁感应定律的数学形式就可能会没有负号在上面这种形式下，面元矢量 dS→d\vec{S}应当选取得与积分路径的方向成右手螺旋关系，否则上式中就不应有负号。

用矢量分析中的斯托克斯定理，结合积分与求导的可交换性，将上式改写为相应的微分形式：∇×E→=−∂B→∂t\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

更进一步地，如果要研究变化的磁场在闭合的导体回路中激发的电流，可以根据电流流动的实际情况将存在电流分布的区域划分为多个细长管形环状区域，并忽略单个区域内电流在管形截面上的分布，认为电流集中在管形区域的轴线上流动，则感生电场在这一闭合曲线上的必然不为0的环量就充当了维持电流存在的电动势的作用，称为该变化的磁场在该闭合曲线上的感应电动势：

εe=−∂ΦB∂t=∮∂SE→⋅dl→\varepsilon_e=-\frac{\partial \Phi_B}{\partial t}=\oint_{\partial S}\vec{E} \cdot d\vec{l}

讨论有一种情况下的感应电动势是比较有意思的，那就是磁场也在发生变化，导体组成的闭合路径本身也在发生变化的情形典型的例子就是类似下图所示的，磁场区域中存在着由可在导体组成的轨道上滑动的导体与轨道共同组成的闭合路径时的情形。

磁场和闭合路径都发生变化时的简单模型考虑最简单的情况，空间中存在垂直于U形导体所在平面的变化的匀强磁场，另一导体细棒两端与U形导体良好接触并可滑动，相关的磁场 B→\vec{B} 、感应电流 II 、导体棒运动速度

v→\vec{v} 、导体棒所受安培力 F→\vec{F} 等物理量如上图所示考虑某一时刻，穿过该闭合路径的磁通量显然是 ΦB=BS\Phi_B=BS （这里 S=DLS=DL 为闭合路径围成的面积），则感应电动势为：。

εe=−dΦBdt=−d(BS)dt=−(BdSdt+SdBdt)\varepsilon_e=-\frac{d\Phi_B}{dt}=-\frac{d(BS)}{dt}=-(B\frac{dS}{dt}+S\frac{dB}{dt})

不考虑前面负号，上式表明这种情况下的感应电动势由两部分组成：其一是认为该时刻磁场不改变，只由闭合路径围成的面积变化也就是部分回路的运动而导致磁通发生变化所引起的电动势，称为动生电动势，也就是 BdSdt

=BLdDdt=BlvB\frac{dS}{dt}=BL\frac{dD}{dt}=Blv ；其二是认为该时刻回路无变化，只由磁场的改变导致磁通发生变化所引起的电动势，称为感生电动势，也就是 SdBdt

S\frac{dB}{dt} 如果磁场的变化和导体棒的运动满足一定条件，甚至可以使回路中总的感应电动势为0按磁通量的定义，磁通量的变化显然有两方面原因：其一是闭合路径本身的变化，其二是磁场的变化，这两种变化在闭合路径上导致的感应电动势分别与上述动生电动势和感生电动势对应。

现在来考虑如何产生变化的磁场，根据第2章中进行的分析，既然恒定电流能够在空间中建立恒定磁场，那变化的电流也应能在空间中建立变化的磁场如果这个电流变化“不太快”，就可以将第2章介绍的适用于恒定电流建立恒定磁场的相关规律推广应用到变化的电流所建立的变化的磁场。

紧接着考虑变化的电流所引起的感应电动势1.2.9节介绍了电感的概念，这里将电感的定义式推广到变化的电流建立变化的磁场的情形，得到：εe=−dΦBdt=−d(LI)dt=−LdIdt\varepsilon_e=-\frac{d\Phi_B}{dt}=-\frac{d(LI)}{dt}=-L\frac{dI}{dt}。

注意这里本应还有一项 IdLdtI\frac{dL}{dt} 用来描述电感本身随时间的变化，根据电感定义式只要电流密度分布和给定的两个区域都不发生改变，就可以认为LL是一个不随时间改变的常量（特别是对于两个区域都是空间中的闭合曲线的情形，可以直接从聂以曼公式分析得到同样的结论）。

由于LL既可以是区域1中的电流分布对另一区域2的互感，也可以是区域1中的电流分布对自身的自感，相应地就把区域1的电流I1I_1的变化在区域2中产生的感应电动势εe12\varepsilon_{e12}称为互感电动势，写成数学形式就是：

εe12=−L12dI1dt\varepsilon_{e12}=-L_{12}\frac{dI_1}{dt}把区域1的电流变化在区域1自身中产生的感应电动势称为自感电动势，写成数学形式就是：εe1=−L

1dI1dt\varepsilon_{e1}=-L_{1}\frac{dI_1}{dt}