信号与系统|自动控制原理 什么是“状态”

 

Intro

在学习《电路分析》、《信号与系统》、《自动控制原理》、《现代控制理论》中，我们多次遇到了状态这个词语。而且它们都成为了掌握这门课程中不可避免的一部分。

第一次遇到零状态响应

最早接触状态应该是在电路分析课程中，我懒得找教材了，就看了一下笔记，上面写：

零输入响应：由元件初始储能引起的响应

零状态响应：仅由外加激励引起的响应

可能是因为我没有上课认真听讲，我当时对这两个响应的理解就是上面的两句话。

但是这个字眼中，“零输入、零状态”表示的应该是什么东西为0，而后面的解释中却说的是什么东西不是0

《信号与线性系统分析》

状况

P22：

如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的状况有关，就称之为动态系统（或记忆系统）。含有记忆元件（如电感、电容、寄存器等）。本书主要讨论动态系统。

什么叫“与它过去的状况有关”呢？

先考虑一下什么是与过去状况无关。拿电路系统来说，用纯电阻搭一个分压电路，不考虑导线之间的分布电容，不考虑电路运行时发热导致电阻参数变化，那么它就是与过去状况无关。不管拿它分了多少次压、不管上一次拿它分压是什么时候，只要给它一个电压就能迅速输出对应的电压值。

那反过来看，与过去状况有关就很好理解了：过去发生了什么会影响它当下的动作。

还是拿电路系统举例。比如电容充放电：如果电容之前已经把电荷给释放完了，那在它两边接上负载一定是没有输出的；而如果电容上还带有之前没有释放完的电荷，那么在它两边接上一个小灯泡就会亮一会再慢慢熄灭。

再拿更抽象一点的现实生活举例：我们对一个人、一个物品的态度其实就是“与过去状况有关”的，ta之前做了什么事都会影响自己对ta的感受。说得再抽象一点就是，这个事物是运动的，它的过去、将来都会对现在造成影响。

“中间变量”

在学系统框图的时候，我们把连续系统中最右边积分器的输出记作x(t)x(t)，再往前推出x′(t)x^{}(t)、x″(t)x^{}(t)直到xx的nn阶导；然后列写输入输出加法器的方程，得到一个关于ee和xx的nn阶导的代数方程，一个关于yy和xx的nn阶导的代数方程；消去中间变量xx

，我们就得到了输入输出关系。

系统的响应

动态系统的响应不仅决定于系统的激励，而且与系统的初始状态有关。……多个初始状态……简记为{x(0)}\{x(0)\}

根据线性系统的分解特性，我们可以把系统的全响应分成两个分量：零输入响应和零状态响应。

这里我们才真正接触到了零输入和零状态。

后面学习求时域响应的时候一直搞不懂齐次解特解，零输入零状态是什么千丝万缕的关系。

其实，齐次解和特解是从数学角度对微分方程解的说法，齐次解对应齐次方程，而非齐次方程的解是通解+特解。

而零输入和零状态就是根据线性系统分解特性来的说法，把全响应看作输入全为零和初始状态全为零的两个分量。

那么回到一开始的问题：什么是状态？

状态

定义

系统在时间域中的行为或运动信息的集合，表征了系统运动的信息和行为。

这里一定不能把运动单纯的理解为机械运动，这个运动其实和哲学中的运动在意义上是相近的。

提到时间域我们就应该想到一个词：过去。将来是我们不能够完全确定的，但是过去发生过的事就已经板上钉钉了，并且对这个系统发生了作用，这些作用如果再累加一下，就出现了、Σ、∫\Sigma、\int等符号。

举例

拿机械运动举例，一个小球在运动，我们观察它的位移xx、速度vv、加速度aa，这些都可以叫做”运动信息“，那么它们都可以叫做状态，并且这三个状态有下面的关系：

x=xx=x

x′=vx^{}=v

x″=ax^{}=a

那为了节省字母，我们用xx的nn阶导就可以去描述这个系统的机械运动。

再举一个例子：比如一个教室里面。它的温度、湿度、照度都是在时间域中运动的，都可以称作状态。

对于简单的系统，我们就可以认为：状态就是微分。一方面在机械运动中我们研究的量确实有位移、速度、加速度、加加速度这样的情况；另一方面在写系统的状态方程组的时候会引入

x˙2=x3\dot x_2=x_3、x˙3=x4\dot x_3=x_4...

这种写法。

状态是什么

其实，状态就是信息，是state。对于简单的数学上写法就可以理解为微分。但是，状态不一定是我们可以肉眼看到的、可测量的量，它也可以只是数学上的一个变量，并不具有实际含义。

而我们要理解的就是：状态是系统内部的量。系统的输出（响应）与外部激励有关，这个激励在系统里面走了一遭之后，自然就与内部的状态也有关了。

现在再来理解零输入零状态响应的初始条件：

零输入响应

y(0+)y(0+)不等于y(0−)y(0-)原因就是有激励引起的跳变。对于零输入来说，输入都没了哪来跳变。所以y(0+)=y(0−)y(0+)=y(0-).

再考虑把 yy 按零输入零状态分为yziy_{zi}和yzsy_{zs}：零状态指的是初始状态为0，仅由外部激励产生的输出。现在没了激励，自然yzs=0y_{zs}=0，初始条件中的yy就是零输入的yziy_{zi}.

那么就有了：yzs(0+)=yzs(0−)=y(0−)y_{zs}(0+)=y_{zs}(0-)=y(0-).

零状态响应

零状态响应中没了初始的状态，只有外部激励。

同样，yziy_{zi} 是初始状态引起的输出，自然也是为0，那么外部激励引起的跳变就全部作用在 yzsy_{zs} 上了。

也就是说，yzsy_{zs} 的跳变量就是系统总的跳变量

对状态这个抽象概念有了一点理解之后是不是稍微好理解一点了呢

后续学习

状态这个概念在《信号与系统》、《自动控制原理》之后的章节出现的就比较少了。这是因为状态是系统内部的信息，而《信号与系统》主要学习对信号做变换的工具，在后续研究系统章节中会简单提到状态空间表达式；而经典控制理论主要研究系统的输入-输出特性，把系统作为黑箱模型研究，不去重点研究系统内部的情况。

《自动控制理论》中介绍数学工具时会提到利用系统的状态进行分析、建立数学模型，这就是“机理分析”的方法：通过研究系统的结构来建立输入——输出模型、状态空间表达式。

而到了现代控制理论中，除了研究MIMO系统，更重要的是掌握状态空间这种数学工具，从而对系统的内部状态也能够实现控制。在现代控制理论中，为了观测不能直接观测或不便于直接观测的状态，我们还会学习设计状态观测器。