映射 (3)（360手柄配对主机）

引入映射是为了呼应集合，用整体的观点看待事物的变化有了映射，就可以在“某种变化将一个元素对应到一个元素”的基础上，认识这样的变化然而我们不想局限于关注一个元素对应到哪个元素，还想关注一系列元素对应到哪些元素，或者一系列元素是由哪些元素对应的。

设 X,YX,Y 是集合， ff 是 X→YX\to Y 的映射， X1X_1 是 XX 的子集定义 ff 在 X1X_1 上的像f(X1)={f(x):x∈X1}.f\left(X_1\right)=\left\{f\left(x\right):x\in X_1\right\}.。

特别地，称 ff 在 XX 上的像 f(X)f\left(X\right) 为 ff 的值域运用映射限制的观点， f(X1)f\left(X_1\right) 其实就是 ff 在 X1X_1 上的限制的值域。

当 ff 是变换时，所谓 ff 在 X1X_1 上是不变的，就是 f(X1)⊆X1.f\left(X_1\right)\subseteq X_1. 此时，可以将 f|X1\left. f\right|_{X_1}

看做是 X1X_1 上的变换有了映射的像，回去理解有关集合族的内容，就会觉得比较自然例如对于集合族 X,\mathfrak X, 我们规定 XC={XC:X∈X},\mathfrak X^\mathrm C=\left\{X^\mathrm C:X\in\mathfrak X\right\},。

是因为将 XC\mathfrak X^\mathrm C 看做是集合的补运算在集合族 X\mathfrak X 上的像设 Y1Y_1 是 YY 的子集定义 ff 在 Y1Y_1 上的原像f−1(Y1)

={x:f(x)∈Y1}.f^{-1}\left(Y_1\right)=\left\{x:f\left(x\right)\in Y_1\right\}.值得注意的是原像的性质往往比像更好例如我们已经知道，值域 。

f(X)f\left(X\right) 不一定等于到达域 Y,Y, 但是容易看出， YY 的原像 f−1(Y)f^{-1}\left(Y\right) 一定等于 X.X. 事实上，原像的好处还有更多我们考虑像和原像与集合运算的关系。

设 X1,X2X_1,X_2 是 XX 的子集， Y1,Y2Y_1,Y_2 是 YY 的子集，考虑以下六个命题f(X1∩X2)=f(X1)∩f(X2);f\left(X_1\cap X_2\right)=f\left(X_1\right)\cap f\left(X_2\right);

f(X1∪X2)=f(X1)∪f(X2);f\left(X_1\cup X_2\right)=f\left(X_1\right)\cup f\left(X_2\right);f(X1C)=(f(X1))

C;f\left(X_1^\mathrm C\right)=\left(f\left(X_1\right)\right)^\mathrm C;f−1(Y1∩Y2)=f−1(Y1)∩f−1(Y2);f^{-1}\left(Y_1\cap Y_2\right)=f^{-1}\left(Y_1\right)\cap f^{-1}\left(Y_2\right);

f−1(Y1∪Y2)=f−1(Y1)∪f−1(Y2).f^{-1}\left(Y_1\cup Y_2\right)=f^{-1}\left(Y_1\right)\cup f^{-1}\left(Y_2\right).

f−1(Y1C)=(f−1(Y1))C.f^{-1}\left(Y_1^\mathrm C\right)=\left(f^{-1}\left(Y_1\right)\right)^\mathrm C.接下来指出，后三个命题都是正确的，然而前三个命题只有第二个是正确的。

也就是说，求像的过程只能与集合的并运算交换，但是求原像的过程可以与全部三种集合运算交换我们只针对第一个和第三个命题举反例取 X=Y={a,b,c},X=Y=\left\{a,b,c\right\}, 其中

a,b,ca,b,c 是两两不等的元素，取 ff 使得 f(a)=f(b)=b,f\left(a\right)=f\left(b\right)=b,f(c)=c,f\left(c\right)=c,X1

={a,c},X_1=\left\{a,c\right\},X2={b,c},X_2=\left\{b,c\right\}, 则f(X1∩X2)={c},f(X1)∩f(X2)={b,c}.f\left(X_1\cap X_2\right)=\left\{c\right\},\quad f\left(X_1\right)\cap f\left(X_2\right)=\left\{b,c\right\}.

f(X1C)={b},(f(X1))C={a}.f\left(X_1^\mathrm C\right)=\left\{b\right\},\quad \left(f\left(X_1\right)\right)^\mathrm C=\left\{a\right\}.

最后，直接指出有关交和并运算的结论可以推广到集合族设 X,Y\mathfrak X,\mathfrak Y 分别是由 X,YX,Y 的一些子集构成的集合族，将 ff 看做是 PX→PY\mathrm PX\to\mathrm PY。

的映射，自然地定义 ff 的像族和原像族f(X)={f(X1):X1∈X};f\left(\mathfrak X\right)=\left\{f\left(X_1\right):X_1\in\mathfrak X\right\};

f−1(Y)={f−1(Y1):Y1∈Y}.f^{-1}\left(\mathfrak Y\right)=\left\{f^{-1}\left(Y_1\right):Y_1\in\mathfrak Y\right\}.

也就是说，像族和原像族是将 ff 看做是 PX→PY\mathrm PX\to\mathrm PY 的映射时的像和原像则成立f(⋃X)=⋃f(X);\textstyle f\left(\bigcup\mathfrak X\right)=\bigcup f\left(\mathfrak X\right);。

f−1(⋂Y)=⋂f−1(Y);\textstyle f^{-1}\left(\bigcap\mathfrak Y\right)=\bigcap f^{-1}\left(\mathfrak Y\right);

f−1(⋃Y)=⋃f−1(Y).\textstyle f^{-1}\left(\bigcup\mathfrak Y\right)=\bigcup f^{-1}\left(\mathfrak Y\right).