映射的概念与性质（映射的概念与性质论文）

 

1.映射的基本概念【定义1.1】如果 XX 到 YY 的关系 ff 具有单值性，即∀x∈X∃!y∈Y((x,y)∈f)\forall x\in X\exists!y\in Y((x,y)\in f)\\

则称关系 ff 为 XX 到 YY 的映射(mapping)或函数(function).方便起见,我们将从 XX 到 YY 的映射 ff 记作: f:X→Yf:X\rightarrow Y ,将 (x,

y)∈f(x,y)\in f 记作 y=f(x)y=f(x) ,有时映射 ff 也可以写成如下形式:f:X→Y,x↦y=f(x)f:X\rightarrow Y,x\mapsto y=f(x)\\从 X

X 到 YY 上的映射全体构成的集合记作 XYX^Y .对于给定集合 X′⊆XX\subseteq X ,集合 f(X′)={f(x)|x∈X′}f(X)=\{f(x)|x\in X\} 叫做映射 ff

在集合 X′X’ 上的像(集).类似的,对于 Y′⊆YY\subseteq Y ,集合 f−1(Y′)={x∈X|f(x)∈Y′}f^{-1}(Y)=\{x\in X|f(x)\in Y\} 叫做 f

f 在 Y′Y’ 上的原像.【假装是例子的一些名词】将每一个元素 x∈Xx\in X 映到自身的映射 IdX:X→X,x↦xId_X:X\rightarrow X,x\mapsto x 称为恒等(或单位)映射

(identity mapping).如果 XX 是 YY 的子集: X⊆YX\subseteq Y,有时也会定义一个专门的包含映射：I：X→Y,x↦xI：X\rightarrow Y,x\mapsto x

.映射 f:X→Y,g:X′→Y′f:X\rightarrow Y,g:X\rightarrow Y ,如果 X⊆X′,Y⊆Y′X\subseteq X,Y\subseteq Y ,且 ∀x∈X(f(

x)=g(x))\forall x\in X(f(x)=g(x)) ,那么我们称 ff 是 gg 的(在 XX 上的)限制(restriction),而 gg 为 ff 的扩张(或延拓)(extension).

正如我们在上一节中所定义的那样,我们用集 Dom(f)Dom(f) 来表示映射ff 的定义域.对于映射 f:X→Yf:X\rightarrow Y ,注意到在映射的定义中,对于所有的 XX 中的元素,都存在着

YY 中的元素与之对应.因此有 X⊆Dom(f)X\subseteq Dom(f) .同时又有 Dom(f)⊆XDom(f)\subseteq X .所以 X=Dom(f)X=Dom(f) .也就是说集合

XX 就是 ff 的定义域了.同样,我们来考虑集合 YY 与 ff 的值域 Ran(f)Ran(f) 的关系.根据值域的定义,我们有 Ran(f)={y∈Y|∃x∈X((x,y)∈f}⊆Y.Ran(f)=\{y\in Y|\exists x\in X ((x,y)\in f\}\subseteq Y.\\

那么,反过来,是否一定有 Y⊆Ran(f)Y\subseteq Ran(f) 呢？答案是否定的.【例1.1】对于映射 f:R→R,x↦x2f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},x\mapsto x^2

, Ran(f)≠RRan(f)\not=\mathbb{R} .这样,我们就有必要用不同的名词来区分它们.对于映射 f:X→Yf:X\rightarrow Y,集合 YY 称为映射 ff 的陪域(codomain).如果一个映射的值域和陪域相等,即

∀y∈Y∃x∈X(f(x)=y)\forall y\in Y\exists x\in X(f(x)=y)\\ 那么我们称这个映射是满的(surjective).映射的单值性保证了每一个定义域中的元素都有陪域中唯一的一个元素与之对应,但是并不要求值域中的元素必定有唯一的原像.在例1.1中,我们就可以直接验证,映射

ff 值域中的元素未必有唯一的原像.如果一个映射值域中的元素都有唯一的原像,即 f(x)=f(x′)⇒x=x′f(x)=f(x)\Rightarrow x=x\\ 则称这个映射是单的(injective).如果一个映射既是满的又是单的,我们就说这个映射是

双射(bijection).映射 f:X→Yf:X\rightarrow Y 的逆关系 f−1={(y,x)|(x,y)∈f}f^{-1}=\{(y,x)|(x,y)\in f\}未必是个映射.但是如果映射

ff 是双的,根据定义, f−1f^{-1} 就是一个映射.此时,我们称 f−1f^{-1} 映射为 ff 的逆映射.我们也可以用映射复合的观点来看待逆映射.所谓映射复合或合成(composition)的定义与关系的复合是保持一致的.或者我们可以这样描述:

【定义1.2】给定映射 f:X→Yf:X\rightarrow Y , g:Y→Zg:Y\rightarrow Z.我们可以定义它们的复合 (g∘f):X(g\circ f):X→Y\rightarrow Y

, x↦g(f(x))x\mapsto g(f(x)) .以上事实可以用交换图(commutative diagram) 来表示:

图 1交换图背后有着深刻的数学含义,但这里不再深究.【引理1.1】单射的复合是单的,满射的复合是满的.证明: 只验证单射的复合是单的.假设 f:X→Y,g:Y→Zf:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow Z

都是单射.那么取 x,x′∈Xx,x\in X ,使得(g∘f)(x)=(g∘f)(x′)(g\circ f)(x)=(g\circ f)(x) .由定义,有 g(f(x))=g(f(x′))g(f(x))=g(f(x))

.由于 gg 是单射,所以 f(x)=f(x′)f(x)=f(x) .又因为 ff 也是单的,所以 x=x′x=x .这说明 g∘fg\circ f 是单射.容易验证,映射的复合满足结合律,即:【定理1.1】

设 f:X→Yf:X\rightarrow Y , g:Y→Zg:Y\rightarrow Z , h:Z→Wh:Z\rightarrow W ,则 (h∘g)∘f=h∘(g∘f)(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)

.证明: 可以直接用定义验证:((h∘g)∘f)(x)=(h∘g)(f(x))=h(g(f(x)))=h((g∘f)(x))=(h∘(g∘f))(x). ((h\circ g)\circ f)(x)=(h\circ g)(f(x))=h(g(f(x)))=h((g\circ f)(x))=(h\circ(g\circ f))(x). \\

这个定理所描述的内容也可以用交换图来表示:

图 2其中 β=g∘f\beta=g\circ f , α=g∘h\alpha=g\circ h .在有了映射复合的概念之后,我们可以用更自然的方式引入逆映射:【定义1.3】设 f:X→Yf:X\rightarrow Y

, g:Y→Xg:Y\rightarrow X .如果 f∘g=IdYf\circ g=Id_Y ,则称 ff 是 gg 的左逆, gg 是 ff 的右逆.如果满足f∘g=IdY,g∘f=IdXf\circ g=Id_Y,g\circ f=Id_X \\

表示成交换图即:

则称 ff 是 gg 的双边逆(或逆),这样 gg 也是 ff 的逆.并将 gg 记作 f−1f^{-1} .(双边)逆一旦存在,便是唯一的.假如 ff 存在逆 gg 和 g′g .那么有 :g=g∘I

dY=g∘(f∘g′)=(g∘f)∘g′=IdX∘g′=g′g=g\circ Id_Y=g\circ (f\circ g)=(g\circ f)\circ g=Id_X\circ g=g\\ 这说明 f

−1f^{-1} 的定义是合理的.在这种定义之下,一个映射有逆当且仅当它是单射.我们先证明以下引理:【引理1.1】设f:X→Y,g:Y→Xf:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow X\\

是任意两个映射,如果 g∘f=IdXg\circ f =Id_X ,那么 ff 是单的而 gg 是满的.证明:设 x,x′∈Xx,x\in X ,且 f(x)=f(x′)f(x)=f(x) .于是根据定义

x=IdX(x)=(g∘f)(x)=g(f(x))=g(f(x′))=(g∘f)(x′)=IdX(x′)=x′x=Id_X(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x))=g(f(x))=(g\circ f)(x)=Id_X(x)=x\\

这就说明映射 ff 是单的.对于任意的 x∈Xx\in X ,有 x=IdX(x)=(g∘f)(x)=g(f(x))x=Id_X(x)=(g\circ f)(x)=g(f(x)) .令 y=f(x)y=f(x)

,则有 g(y)=xg(y)=x .所以 gg 是满的.于是有:【定理1.2】一个映射 f:X→Yf:X\rightarrow Y 有逆的充要条件是 ff 是双射.证明:从上述引理可以看出必要性.充分性证明如下:设

ff 是一个双射,那么对于任意的 y∈Yy\in Y 我们可以找到唯一的一个值 x∈Xx\in X ,使得 f(x)=yf(x)=y ,将这个唯一确定的 xx 记作 yfy_f .这启发我们定义函数 g

:Y→X,y↦yfg:Y\rightarrow X,y\mapsto y_f .这样就有 f∘g=IdY,g∘f=IdXf\circ g=Id_Y,g\circ f=Id_X ,所以 gg 就是 ff 的逆.

容易说明,这样定义的逆与之前的定义的一致的.在映射 ：f：X→Yf：X\rightarrow Y 是双射的前提下,考虑关系(也是映射)g={(y,x)|(x,y)∈f}g=\{(y,x)|(x,y)\in f\}

与关系 ff 的复合.由 gg 的定义 g∘f={(x,z)|∃y∈Y((x,y)∈f∧(y,z)∈g)}g\circ f=\{(x,z)|\exists y\in Y((x,y)\in f \wedge (y,z)\in g)\}\\

可知 (y,z)∈g⇔(z,y)∈f(y,z)\in g \Leftrightarrow (z,y)\in f.由 ff 单射性可知 x=zx=z .因此 g∘f=IdXg\circ f=Id_X.同理可证

f∘g=IdYf\circ g=Id_Y.反之容易证明这种定义确定的映射 f−1={(x,z)|(z,x)∈f}f^{-1}=\{(x,z)|(z,x)\in f\} .这两种定义方式给我们的感受是不一样的,前者是直接规定集合中的元素,而后者是利用映射之间的关系来得到的.实际上,在数学中,我们经常不去关注具体的元素,而是考察对象之间的关系.而后者,至少对于我个人来说,是比较自然的.

下面是关于逆映射的重要性质:【定理1.3】从双射 f:X→Yf:X\rightarrow Y 得到一个双射 f−1f^{-1} ,且(f−1)−1=f(f^{-1})^{-1}=f\\ 设 f:X→Yf:X\rightarrow Y

, g:Y→Zg:Y\rightarrow Z 都是双射,则它们的复合 g∘fg\circ f 也是双射,并且(g∘f)−1=f−1∘g−1.(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.\\

证明从略(提示:借助引理1.1). 2.映射的一些性质这写性质的证明可以作为很好的习题.【性质2.1】设 f:X→Yf:X\rightarrow Y , II 是一个指标集.有 ∀α∈I((Eα⊆X)

∧(Fα⊆Y))\forall \alpha\in I((E_\alpha \subseteq X)\wedge(F_\alpha \subseteq Y)) ,则:f(⋃α∈IEα)=⋃α∈If(Eα

)f(\bigcup_{\alpha\in I}E_\alpha )=\bigcup_{\alpha \in I}f(E_\alpha) ;f(⋂α∈IEα)⊆⋂α∈If(Eα)f(\bigcap_{\alpha \in I}E_\alpha)\subseteq \bigcap_{\alpha \in I}f(E_{\alpha})

(试举例说明为什么等号不一定成立);f−1(⋃α∈IFα)=⋃α∈If−1(Fα)f^{-1}(\bigcup_{\alpha\in I}F_\alpha)=\bigcup_{\alpha \in I}f^{-1}(F_\alpha)

;f−1(⋂α∈IFα)=⋂α∈If−1(Fα)f^{-1}(\bigcap_{\alpha\in I}F_\alpha)=\bigcap_{\alpha \in I}f^{-1}(F_\alpha)

.证明:只证明第二个式子.任取 y∈f(⋂α∈IEα)y\in f(\bigcap_{\alpha\in I}E_\alpha) ,由定义可知,存在 x∈⋂α∈IEαx\in \bigcap_{\alpha\in I}E_\alpha

,使得 y=f(x)y=f(x) .于是对任意的 α∈I\alpha\in I ,都有 x∈Eαx\in E_\alpha ,使得 y=f(x)y=f(x) .即对任意的 α∈I\alpha \in I

, y∈f(Eα)y\in f(E_\alpha) .这就说明了 f(⋂α∈IEα)⊆⋂α∈If(Eα)f(\bigcap_{\alpha \in I}E_\alpha)\subseteq \bigcap_{\alpha \in I}f(E_{\alpha})

.【性质2.2】设 f:X→Y.f:X\rightarrow Y.则∀B⊆Y(f(f−1(B))=B∩f(X))\forall B\subseteq Y(f(f^{-1}(B))=B\cap f(X))

.ff 是满射的充要条件是: f(f−1(B))=Bf(f^{-1}(B))=B .【性质2.3】设 f:X→Yf:X\rightarrow Y .下列命题是等价的:ff 是单射;∀A⊆X(f−1(f

(A))=A)\forall A\subseteq X(f^{-1}(f(A))=A);∀A,B⊆X(f(A−B)=f(A)−f(B))\forall A,B\subseteq X(f(A-B)=f(A)-f(B))

.上面这两个性质都十分容易证明(其实这是我们的课后题哈哈哈),有兴趣的读者可以自行验证.