拉普拉斯变换是什么意思，原理是什么？（拉普拉斯变换的理解）

拉普拉斯变换可以看作傅里叶变换的改进设f(t)是定义在 R\mathbb{R} 上的函数（可以把t想象成时间，f(t)想象成电压、电流或者声波的振幅），定义f的傅里叶变换f~\tilde{f} ：f~(

ω)=∫−∞+∞f(t)e−iωtdt\tilde{f}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-{\rm i}\omega t}dt 我们称 f~\tilde{f}

是f的像函数把t当作时间，ω就是角频率，因此，傅里叶变换的作用是把信号从时域变到频率域我们可以把它类比成用棱镜把太阳光分解成光谱傅里叶变换的一个重要性质是原函数的导数运算在傅里叶变换下可转化为像函数的。

代数运算： f′~(ω)=iωf~(ω)\widetilde{f}(\omega)={\rm i}\omega\tilde{f}(\omega) 傅里叶变换定义为无限区间上的积分，我们要问，此积分存在吗？直觉上，如果f(t)在t→+∞和t→-∞时以足够快的速度趋于0，积分就存在。

数学中的做法就是对f(t)加上限制（例如绝对可积），使趋于0的速度足够快，保证积分存在但实际应用中，f(t)往往不满足这些限制条件，不能保证傅里叶变换一定存在，因此傅里叶变换还不够实用为了解决上述问题，我们可以。

把f(t)乘上一个快速衰减的函数，再做傅里叶变换最容易想到的“快速衰减函数”是指数函数e−σte^{-\sigma t} （ σ为正实数）注意 e−σte^{-\sigma t} 只在t→+∞时趋于0，不过实际应用中t经常表示从0开始的时间，我们可以把t的范围限制为。

非负数这样，我们得到了f的拉普拉斯变换：f~(p)=∫0+∞f(t)e−ptdt,p=σ+iω\tilde{f}(p)=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-pt}dt,\quad p=\sigma+{\rm i}\omega。

我们称 f~\tilde{f} 为f在拉普拉斯变换下的像函数拉普拉斯变换继承了傅里叶变换的很多性质原函数的导数运算在拉普拉斯变换下同样可转化为像函数的代数运算：f′~(p)=pf~(p)−f(0)\widetilde{f}(p)=p\tilde{f}(p)-f(0)

与傅里叶变换不同，上式包含了f(t)的初值f(0)因此，上述性质经常用来求解电路分析中遇到的微分方程举个最简单的例子来说明在初始电压为 U0U_0 的电容C两端接一电阻R使其放电，则电容两端电压U满足微分方程。

U′+1RCU=0U+\frac{1}{RC}U=0对U做拉普拉斯变换，求出像函数pU~(p)−U0+1RCU~(p)=0⇒U~(p)=U0p+1RCp\tilde{U}(p)-U_0+\frac{1}{RC}\tilde{U}(p)=0\Rightarrow \tilde{U}(p)=\frac{U_0}{p+\frac{1}{RC}}

对像函数U~\tilde{U} 做“反演”（变回原函数），得U(t)=U0e−tRCU(t)=U_0e^{-\frac{t}{RC}}这样就得到了电容电压随时间的变化规律。