谁能详细的讲下拉普拉斯变换吗?（如何进行拉普拉斯变换）

讲拉普拉斯变换，首先你要先懂傅里叶变换！傅里叶变换公式：正变换： F(jw)=∫−∞+∞f(t)e−jwtdtF(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt

反变换： f(t)=12π∫−∞+∞F(jw)ejwtdwf(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(jw)e^{jwt}dw但是，并不是任何信号都能用傅里叶变换公式求正变换，而使用傅里叶变换公式求正变换的前提是

F(jw)F(jw) 收敛，即 ω\omega 为任何数时， F(jw)F(jw) 都存在并能算出来对于一些信号，例如 f(t)=e−αtε(t)f(t)=e^{-\alpha t}\varepsilon(t)。

，当 α\alpha <0时，显然如果用傅里叶变换公式求正变换， F(jw)F(jw)不收敛，因此，该信号不能使用傅里叶变换公式为了解决这个问题，引入了拉普拉斯变换既然引入了拉普拉斯变换，那拉普拉斯变换是如何解决这个问题的呢？。

对于一些使用傅里叶变换，而存在不收敛问题的信号，给这些信号乘上一个收敛因子 e−σte^{-\sigma t} ,将不收敛信号转换成收敛信号下面将详细介绍拉普拉斯变换！设原不收敛信号为 f(t)f(t)。

，乘上一个收敛因子 e−σte^{-\sigma t}从而得到收敛的信号 g(t)=f(t)e−σtg(t)=f(t)e^{-\sigma t}因此，便可对 g(t)g(t) 使用傅里叶变换，其傅里叶变换为

G(jw)=∫−∞+∞g(t)e−jwtdt=∫−∞+∞f(t)e−σte−jwtdt=∫−∞+∞f(t)e−(σ+jw)tdt=∫−∞+∞f(t)e−stdt=F(s)G(jw)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(t)e^{-jwt}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-jwt}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-(\sigma+jw )t}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt=F(s)

其中 s=σ+jws=\sigma +jw 因此，便可得到了f(t)f(t)的拉普拉斯正变换： F(s)=∫−∞+∞f(t)e−stdtF(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt。

，s=σ+jws=\sigma +jw 推出了拉普拉斯正变换，再回看一下傅里叶变换公式正变换： F(jw)=∫−∞+∞f(t)e−jwtdtF(jw) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-jwt}dt。

，在刚学傅里叶变换时，我们有可能会疑惑，正变换为什么要写成 F(jw)F(jw) ,而不是写成 F(w)F(w) ，通过推导了拉普拉斯正变换，相信大家已经明白，F(jw)F(jw)之所以要加上一个j，就是为了能与拉普拉斯正变换写到一块，也就是说，当

σ=0\sigma = 0 时，拉普拉斯变换便退化成傅里叶变换也可以理解傅里叶变换是拉普拉斯变换的一个特例 (σ=0)(\sigma = 0) ,而拉普拉斯变换是傅里叶变换的延伸拉普拉斯正变换已经求出，下面再推导拉普拉斯反变换 :。

由g(t)=f(t)e−σtg(t)=f(t)e^{-\sigma t}为收敛的信号，其傅里叶公式正变换为 G(jw)G(jw) ,因此，可由傅里叶公式反变换求成 g(t)g(t) ,g(t)=12π∫

−∞+∞G(jw)ejwtdwg(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}G(jw)e^{jwt}dw得 f(t)=g(t)eσt=12π∫−∞+∞G(jw

)e−σtejwtdw=12π∫−∞+∞G(jw)eσtejwtdw=12π∫−∞+∞G(jw)e(σ+jw)tdwf(t) = g(t)e^{\sigma t}= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}G(jw)e^{-\sigma t}e^{jwt}dw=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}G(jw)e^{\sigma t}e^{jwt}dw=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}G(jw)e^{(\sigma+jw) t}dw

因此，可以得出拉普拉斯反变换: f(t)=12πj∫σ−j∞σ+j∞F(s)estdsf(t) =\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{s t}ds

,其中 s=σ+jws=\sigma +jw 还有一个问题， σ\sigma 应该取什么值呢？这个视具体情况而定，例如，如果原信号为 f(t)=etε(t)f(t) = e^{t}\varepsilon(t)。

,则乘上收敛因子 e−σte^{-\sigma t} 后，应为 g(t)=etε(t)e−σt=e(1−σ)tε(t)g(t) = e^{t}\varepsilon(t)e^{-\sigma t}=e^{(1-\sigma)t}\varepsilon(t)

,要使 g(t)g(t) 为收敛信号，则 1">σ>1\sigma >1 因此，拉普拉斯变换正变换： F(s)=∫−∞+∞f(t)e−stdtF(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt。

， 其中 s=σ+jws=\sigma +jw 反变换：f(t)=12πj∫σ−j∞σ+j∞F(s)estdsf(t) =\frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}F(s)e^{s t}ds。

, 其中 s=σ+jws=\sigma +jw 。