拉普拉斯变换简介（拉普拉斯变换怎么理解）

一、拉普拉斯变换的定义定义：设函数f(x)是(0,+∞）上的分段连续函数，则其拉普拉斯变换是如下积分的结果： 0">F(s)=L[f(x)]=∫0∞f(x)e−sxdx,Re(s)>0F(s)=L[f(x)]=\int_{0}^{\infty}f(x)e^{-sx}dx,Re(s)>0

F(s)F(s) 称为f(x)f(x) 的像函数，f(x)f(x) 称为F(s)F(s) 的原函数一些常用函数的拉普拉斯变换表如下：序号原函数像函数1.11/s2.x1/s²3.x²2!/s³4.x³3!/s^4

5.e^(ax)1/(s-a)6.cos(ax)s/(s²+a²)7.sin(ax)a/(s²+a²)熟练背下这几个变换，就足可以应对绝大部分的题目了拉普拉斯变换的作用有点像中学的对数，对数能把乘除乘方开方化成加减乘除，而拉普拉斯变换能把微积分的式子化成代数式。

若把对数也当做变换的话，其过程就是对乘除的式子取对数，查对数表，运算，查反对数表得出结果；拉普拉斯变换的作用也是这样，对微积分的式子取拉普拉斯变换，查变换表，运算，查反变换得出结果二、举例求函数 f(x

)=4x2−3cos⁡2x+5e−xf(x)=4x^2-3\cos 2x+5e^{-x} 的拉普拉斯变换利用上面的表格可得:F(s)=L[f(x)]=L[4x2−3cos⁡2x+5e−x]=42!s3−

3ss2+4+51s+1F(s)=L[f(x)]=L[4x^2-3\cos 2x+5e^{-x}] =4\frac{2!}{s^3}-3\frac{s}{s^2+4}+5\frac{1}{s+1}三、移位定理

有许多函数是由函数本身乘上一个指数函数组成的，例如： e−xsin⁡2xe^{-x}\sin 2x ,我们有如下的移位定理：若已知 f(x)f(x) 的变换是 F(s)F(s) ，则 eaxf(x)e^{ax}f(x)

的变换是 F(s−a)F(s-a)例如：已知 L[cos⁡2x]=ss2+4L[\cos 2x]=\frac{s}{s^2+4} ,则 L[e−xcos⁡2x]=(s+1)(s+1)2+4L[e^{-x}\cos 2x]=\frac{(s+1)}{(s+1)^2+4}

四、导数的变换为了能用于解微分方程，这条定理必须记牢若 L[f(x)]=F(s)L[f(x)]=F(s) ,则导数的变换是：L[f′(x)]=sF(s)−f(0)L[f(x)]=sF(s)-f(0)L[

f″(x)]=s2F(s)−sf(0)−f′(0)L[f(x)]=s^2F(s)-sf(0)-f(0)......例如：已知 L[f(x)]=ss2+9L[f(x)]=\frac{s}{s^2+9} ,

f(0)=1f(0)=1 则 L[f′(x)]=sss2+9−1=−9s2+9L[f(x)]=s\frac{s}{s^2+9}-1=\frac{-9}{s^2+9}五、积分的变换为了能用于解积分方程，这条也要牢记。

若 L[f(x)]=F(s)L[f(x)]=F(s) ,则积分的变换是：L[∫0xf(t)dt]=F(s)sL[\int_{0}^{x}f(t)dt]=\frac{F(s)}{s} 例如：已知 L[f(

x)]=ss2+9L[f(x)]=\frac{s}{s^2+9} ,则 L[∫0xf(t)dt]=ss2+91s=1s2+9L[\int_{0}^{x}f(t)dt]=\frac{s}{s^2+9}\frac{1}{s}=\frac{1}{s^2+9}

六、用于求积分由于变换本身就是个积分： F(s)=∫0∞f(x)e−sxdxF(s)=\int_{0}^{\infty}f(x)e^{-sx}dx ,若我们令 s=0s=0 ,则有如下公式：F(0)=∫

0∞f(x)dxF(0)=\int_{0}^{\infty}f(x)dx 即要求这个积分，只要令其拉普拉斯变换的s=0s=0即可求出，不过要求积分本身收敛才行举例如下：例1.已知L[e−xcos⁡2x]

=(s+1)(s+1)2+4L[e^{-x}\cos 2x]=\frac{(s+1)}{(s+1)^2+4}，求积分： I=∫0∞e−xcos⁡2xdxI=\int_{0}^{\infty}e^{-x}\cos 2xdx

积分本身是存在的，所以只要令 s=0s=0即可得出：I=∫0∞e−xcos⁡2xdx=(s+1)(s+1)2+4|s=0=15I=\int_{0}^{\infty}e^{-x}\cos 2xdx=\frac{(s+1)}{(s+1)^2+4}|_{s=0}^{}=\frac{1}{5}

七、用于解微分方程利用拉普拉斯变换的微分积分变换定理，就可以把微分方程转化成代数方程来解，下面通过举例来感受一下例2.解微分方程： y′+y=x,y(0)=1y+y=x,y(0)=1对方程两端取拉普拉斯变换： 。

L[y′+y]=L[x]L[y+y]=L[x]sY(s)−f(0)+Y(s)=1s2sY(s)-f(0)+Y(s)=\frac{1}{s^2} ，将初始条件代入，解出 Y(s)Y(s) 得：Y(s)=1

+s2s2(s+1)=1s2−1s+2s+1Y(s)=\frac{1+s^2}{s^2(s+1)}=\frac{1}{s^2}-\frac{1}{s}+\frac{2}{s+1}再查表反变换（记熟了就直接来）即可得出微分方程的解是：

y=x−1+2e−xy=x-1+2e^{-x}习题：1.求函数的拉普拉斯变换：（a） f(x)=xe−xf(x)=xe^{-x}（b） f′(x)=1+x,f(0)=0f(x)=1+x,f(0)=02.解微分方程：

y′−2y=e−x,y(0)=1y-2y=e^{-x},y(0)=1链接提取码: ftyq: https://pan.baidu.com/s/1YUjo0xXe9Cjfxe8nOSXI_A 提取码: ftyq 复制这段内容后打开百度网盘手机App，操作更方便哦

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