利用高中数学知识解初中题（降维打击）-数学降维打击法是什么

2023-05-28 04:28:20

$前言 ==前言==$ {\mathbf{\LARGE \bold{\qquad==前言==\qquad}}}\\

初中很多压轴题主要考察思维能力.但思考压轴题可能需要较长的时间.所以当数学考试时间不够时，可以利用到一些简单的高中知识进行解题.（前提是要有扎实一点的基础）

考试和作业过程当中尽量优先使用常规思路，实在写不出来再使用方法.运用公式和定理可能缺乏思考，不太利于培养数学思维.(倒可能可以练计算速度有些几何题目如果有特定的条件的话，构造相似全等这些可能会十分简单，用公式反而会增大计算量.所以不是所有题目都适合使用高中方法.所以还是得先善于利用条件，使用初中的方法. 没有思路时，可以尝试走捷径.试着理解、推导和证明这些定理和公式，或者多使用它们来做一些题目，都有助于记忆，用多了、记熟了做题就会十分顺手，速度也会更快.总而言之，应试时这些技巧还是十分好用的.只要不滥用，遇题则用，是没有问题的.多认识了解一些方法也可以开阔视野，检查答案的时候可以多上一层保险.

当然是在迫不得已或者一些特殊的情况下，例如选择和填空的小题使用高阶技巧屡试不爽.大题如果遇到“直接写出答案”的要求，过程就显得没有那么重要了，可以运用高中技巧快速算出答案，节省时间.亦或是算出答案后诈证.(总比没分好)

$总总而言之高中技巧：作为积累拓展考试下下策总总而言之,—\cdot-\cdot—\cdot-\cdot—高中技巧：1作为积累拓展2考试下下策$ \begin{array}{r|l} {\small总}{总}{\large而}{\Large言}{\LARGE之,}&—·-·—·-·—\\\quad\Large高中技巧： &1作为\bold{积累拓展} \\[2px]&2考试\bold{下下策} \end{array}

下面举几道初中小题和大题介绍一些我常用或感觉比较有用的高中技巧.

毕竟一些吊炸天的公式定理普普通通的考试也遇不到的啦、、、

（例题还没更新好，不过可以自己找题试试^^）

一解析几何 $AnalyticGeometry$ \mathbb{Analytic}\;\mathbb{Geometry}

关于几何问题，有时候无从下手.这时候可以 $建立直角坐标系建立直角坐标系$ {\color{red}建}{\color{orange}立}{\color{gold}直}{\color{LimeGreen}角}{\color{Green}坐}{\color{blue}标}{\color{purple}系} ，把几何图形放到平面直角坐标系中，用代数进行运算.这样的方法就是建系.通常将题目中给的条件转化为解析式后，联立方程，求出答案.

为什么给建系五颜六色是因为 $建系建系$ \Large\bold{建系} 算得上是初中平面几何题奇技淫巧的淫中淫啦。

但是将条件转化为解析式的“翻译”的过程和计算需要一定的技巧：

1 关于直线

我们常常用 $y=kx+b$ y=kx+b 来表示一条直线，将两点带入表达式，用待定系数法解出 $， k，b$ k，b 的值.

其中 $k$ k 表示直线的斜率，即直线的倾斜程度.倾斜程度可以用在自变量变化大小相同时，函数值变化量越大，斜率 $|k|$ |k| 越大.所以常常用 $k=ΔyΔx$ k=\frac{\Delta y}{\Delta x} 来表示直线的斜率.而 $b$ b 表示直线在 $y$ y 轴上的截距.

除了用 $y=kx+b$ y=kx+b 的斜截式表示直线，我们还可以使用：

1）点斜式：

y-y0=ΔyΔx(x-x0)

y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0) （建系时方便计算）2）一般式：

Ax+By+C=0

Ax+By+C=0 （方便后面带入点到直线距离公式进行计算）

1）点斜式

我们知道，两点确定一条直线，除了可以用两点求出表达式之外，若知道了直线上的一个点和直线的斜率，那么这条直线就是确定的.则同样可以求出直线的解析式.

设直线 $l$ l 上有一点 $A(x0,y0)$ A(x_0,y_0) ,且该直线的斜率为 $k$ k ，则直线的方程可以用点斜式表示： $y-y0=k(x-x0)$ {y-y_0=k(x-x_0)}\\

亦或是 $y-y0=ΔyΔx(x-x0)$ \bbox [yellow,5px,border:2px solid fuchsia]{{y-y_0=\frac{\Delta y}{\Delta x}(x-x_0)}}\\

从上式我们也易知直线过定点 $(x0,y0)$ (x_0,y_0).

使用点斜式，大多数时候比使用待定系数法解方程来得快.(但应该注意斜率的大小)

2）一般式

为了使用方便，直线的表达式千变万化，但最后都可以转化为一般式 $Ax+By+C=0$ Ax+By+C=0 .

例如 $y=x\Leftrightarrowx-y=0$ y=x\Leftrightarrow x-y=0 ( 其中 $A=1,B=-1,C=0.$ A=1,B=-1,C=0. )

$y=-12x+2\Leftrightarrowx+2y-2=0$ y=-\frac{1}{2}x+2\Leftrightarrow x+2y-2=0 (其中 $A=1,B=2,C=-2.$ A=1,B=2,C=-2. )

(一般式的系数和常数项可以同时乘以非零实数)

2 公式

1）两点间的距离公式：在平面上有点 $A(x1,y1),$ A(x_1,y_1), 点 $B(x2,y2)$ B(x_2,y_2) ,则线段 $AB$ AB 的长度为:

$(x1-x2)2+(y1-y2)2$ {\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}}\\ 以可方便记为 : $(Δx)2+(Δy)2$ \bbox [yellow,5px,border:2px solid fuchsia]{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\\

实际上就是根据勾股定理，算出两点间的距离.

两点间的距离公式

2）点到直线的距离公式： $d=|Ax0+By0+C|A2+B2$ \bbox [yellow,5px,border:2px solid fuchsia]{d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} }\\ 其中 $A,B,C$ A,B,C 是直线一般式 $Ax+By+C=0$ Ax+By+C=0 的系数和常数项，点的坐标为 $(x0,y0)$ (x_0,y_0) .

3）中点

若在平面内，点 $M$ M 为点 $A(x1,y1),$ A(x_1,y_1), 点 $B(x2,y2)$ B(x_2,y_2) 的中点，则

$M(x1+x22,y1+y22)$ \bbox [yellow,5px,border:2px solid fuchsia]{M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})}\\

4）在平面内，有两条直线 $l1,l2$ l_1,l_2 互相垂直,其斜率分别为 $k1,k2$ k_1,k_2 ，那么 $k1,k2$ k_ 1,k_2互为负倒数，即： $k1\cdotk2=-1$ \bbox [yellow,5px,border:2px solid fuchsia]{k_1\cdot k_2=-1}\\

3 导数 $Derivative$ \mathbb{Derivative}

定义：导数是微积分中的重要基础概念.当函数

y=f(x)

y=f(x) 的自变量

x

x 在一点

x0

x_0 上产生一个增量

Δx

Δx 时，函数输出值的增量

Δy

Δy 与自变量增量

Δx

Δx 的比值在

Δx

Δx 趋于

0

0 时的极限

a

a 如果存在,

a

a 即为在

x0

x_0 处的导数，记作

f'(x0)

f’(x_0) .即

a=f'(x0)=limΔx\to0f(x0+Δx)-f(x0)Δx.

a=f^{\prime}(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}.

导数对于初中生应该是相对陌生的概念.根据如上的定义，我们由函数 $y=f(x)$ y=f(x) 在点 $x0$ x_0 上的导数： $f'(x0)=limΔx\to0f(x0+Δx)-f(x0)Δx$ f^{\prime}(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} ，可以发现，其在形式上可以理解为函数值的增量除以自变量的增量，即 $ΔyΔx$ \displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x} ，就是斜率.（如图）不过是什么的斜率，注意到 $limΔx\to0$ \displaystyle\lim_{\Delta x\to0} （即自变量的增量趋于0），可以总结出导数的几何意义：

函数 $y=f(x)$ y=f(x) 在点 $x0$ x_0 上的导数 $f'(x0)$ f^{\prime}(x_0) 的几何意义为函数图象在该点切线的斜率.

应该对导数的意义有一定了解了.尽管形式可能复杂（当然理解了是很简单的），不过用起来也很简单，因为初中无非就一次、二次函数和反比例函数：

导数的几何意义

二次函数

这里，我们以一个我们最熟悉的二次函数作为研究对象：

$y=x2$ y=x^2\\ 设二次函数的图像上有两点 $A,B$ A,B（点 $A$ A 在点 $B$ B 的左侧） ,将 $A,B$ A,B 两点的横坐标之差记为 $Δx$ \Delta x ，则可以设 $A(x0,x02),B(x0+Δx,(x0+Δx)2)$ A(x_0,x_0^2),B(x_0+\Delta x,(x_0+\Delta x)^2).

根据导数的定义，点 $x0$ x_0 上产生一个增量 $Δx$ Δx 时，函数输出值的增量 $Δy$ Δy 与自变量增量 $Δx$ Δx 的比值在 $Δx$ Δx 趋于 $0$ 0 时的极限即为点 $x0$ x_0上的导数，记作 $f'(x0)$ f’(x_0) .

所以 $f'(x0)=limΔx\to0f(x0+Δx)-f(x0)Δx$ f^{\prime}(x_0)=\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} .

那么 $y=x2$ y=x^2 在点 $A$ A 处的导数可以表示为：

$f'(x0)=limΔx\to0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limΔx\to0(x0+Δx)2-(x0)2Δx=limΔx\to02x0\cdotΔx+Δx2Δx=limΔx\to02x0+Δx$ \begin{align} f^{\prime}(x_0) &=\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \\&=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x_0+\Delta x)^2-(x_0)^2}{\Delta x} \\&=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x_0\cdot\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x} \\[4px]&=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}2x_0+\Delta x \end{align}

上式的 $limΔx\to0f(x0)$ \displaystyle\lim_{\Delta x\to0}f(x_0) 表示当 $Δx$ \Delta x 无限接近于0时，式子 $f(x0)$ f(x_0) 的值（ $lim$ lim 表示极限 $limit$ \mathbf {limit} ）.

由 $f'(x0)=limΔx\to02x0+Δx$ f′(x_0) =\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}2x_0+\Delta x 可知，当 $Δx$ \Delta x 无限接近于 $0$ 0 时， $f'(x0)=2x0$ f′(x_0) =2x_0 .

于是我们得到了二次函数 $y=x2$ y=x^2 的导函数 $y'=2x$ y=2x .

$结论二次函数的导函数为结论1二次函数y=ax2+bx+c的导函数为y'=2ax+b.$ \bbox [yellow,5px,border:2px solid fuchsia]{结论1\;二次函数 y=ax^2+bx+c 的导函数为 y′=2ax+b .}\\

当 $limΔx\to0$ lim_{\Delta x\to0}时，即 $Δx$ \Delta x 趋于0，则 $y=x2$ y=x^2 中 $A,B$ A,B 两点的横坐标之差无限接近为0.若 $A$ A 为定点，可以想象点 $B$ B 在函数图象向左移动,直至 $A,B$ A,B 两点重合，直线 $AB$ AB 也由抛物线的割线逐渐变成切线.那么该点 $A$ A 的导数即为这条抛物线点 $A$ A处的切线的斜率.

另外，

对于反比例函数

y=kx=kx-1

y=\frac{k}{x}=kx^{-1} ,导函数为

y'=-kx2

y=-\frac{k}{x^2} .

(k\neq0)

(k\ne0)

$反比例函数导函数为反比例函数y=kx,导函数为y'=-kx2.(k\neq0)$ \displaystyle \bbox [yellow,5px,border:2px solid fuchsia]{反比例函数 y=\frac kx ,导函数为 y′=−\frac k{x^2} . (k≠0) }\\

对于一次函数/正比例函数

y=kx+b

y=kx+b ，导函数为

y'=k

y=k .因为直线上某一点的切线就是这条直线，且这条直线的斜率为

k

k .

4 圆的方程9

根据圆的第一定义，可知在平面内若有一定点O（a，b），一动点P（x，y），且OP长度为定值r

根据勾股定理：

$(x-a)2+(y-b)2=r$ \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r\\ $(x-a)2+(y-b)2=r2$ {(x-a)^2+(y-b)^2}=r^2\\

我们便得到了圆的方程：

$以为圆心为半径的圆的方程为以(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2$ \displaystyle \bbox [yellow,5px,border:2px solid fuchsia]{以(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程为\\{(x-a)^2+(y-b)^2}=r^2}\\

5 建系

根据上面的一些方法，相信建立平面直角坐标系，把几何图形放到平面直角坐标系后，条件转化为解析式的“翻译”的过程中一定掌握了一些技巧.

建系的内容放在另一篇文章的例题中，结合题目进一步综合学习建系方法.

二解三角形

1 诱导公式

在初中，我们已经接触过三角函数，但是仅限于一些特殊锐角的正弦、余弦和正切值.

题目里,亦或是运用三角函数解题的过程中，要是出现了 $sin15°,cos36°,tan120°$ sin15°,cos36°,tan120° ，岂不是束手无策？

怎么能束手无策呢.

单位圆

如图，我们建立一个直角坐标系，以原点 $O$ O 为圆心，以一个单位为半径作一个圆.我们把他称为单位圆.

我们要求一个任意大小的角 $α$ \alpha的三角函数值，不妨把角 $α$ \alpha 的顶点放在原点，使 $α$ \alpha的一条边与 $x$ x轴重合，方便研究.

若角 $α$ \alpha的另外一条边与单位圆相交于点P，不难得出该点的坐标P（ $cosα$ cos\alpha , $sinα$ sin \alpha ）

那么现在， $cosα$ cos\alpha与 $sinα$ sin\alpha的大小都由 $α$ \alpha决定，我们可以直接在这个单位圆里研究.这里先不展开了，给出下列初中数学题可以用到的诱导公式:（下文的表示为弧度制，其中 $πrad$ \pi rad 相当于角度制 $180°$ 180° ，初中我们暂时只讨论0°以上180°以下的角）

可以利用“奇变偶不变，符号看象限”进行推导.充分发挥单位圆的作用，三角函数乱杀.

2 三角恒等变换

利用诱导公式，我们已经可以求出大部分角度的三角函数值.例如 $cos120°=cos(π-60°)=cos60°=12$ cos120°=cos(π-60°)=cos60°=\frac{1}{2}

然而如果遇到 $sin15°$ sin15° 好像却无从下手.

下面介绍三角恒等变换，用以下的方法解出 $sin15°$ sin15°

1）三角和差公式

$： S+:sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosαS-:sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosαC+:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβC-:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβT+:tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanα\cdottanβT-：tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanα\cdottanβ$ \displaystyle {S_+:sin( α +\beta)=sin α cos\beta+sin\beta cos α \\ S_-:sin( α -\beta)=sin α cos\beta-sin\beta cos α \\ C_+:cos( α +\beta)=cos α cos\beta-sinα sin\beta\\ C_-:cos( α -\beta)=cos α cos\beta+sinα sin\beta\\ T_+:tan(α +\beta)=\frac{tan\alpha +tan\beta}{1-tan\alpha \cdot tan\beta}\\ T_-：tan(α -\beta)=\frac{tan\alpha -tan\beta}{1+tan\alpha \cdot tan\beta}}

$， (α+β，α-β\neqk2π,k\inZ)$ \displaystyle(\alpha+\beta， \alpha-\beta \ne \frac{k}{2}\pi,k\in \bold{Z})

所以 所以sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-sin30°cos45°=64-24=6-24.

\begin{align} 所以sin15°&=sin(45°-30°)\\& =sin45°cos30°-sin30°cos45°\\& =\frac{\sqrt6}{4}-\frac{\sqrt2}{4}\\& =\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}. \end{align}

2）倍角公式

根据上边的三角和差公式，可知，当 $α=β$ \alpha=\beta 时，存在：

$S2α:sin2α=2sinαcosαC2α:cos2α=cos2α-sin2αT2α:tan2a=tan2α1-tan2α$ S_{2\alpha}:sin2\alpha=2sin\alpha cos\alpha\\ C_{2\alpha}:cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha\\ T_{2\alpha}:tan2a=\frac{tan2\alpha}{1-tan^2\alpha}

又因为 $sin2α+cos2α=1$ sin^2\alpha+cos^2\alpha=1 ,所以余弦二倍角公式又可以推导得：

$C2α:cos2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1$ C_{2\alpha}:cos2\alpha=cos^2\alpha-sin^2\alpha=1-2sin^2\alpha=2cos^2\alpha-1

另外我们将 $α$ \alpha 替换为 $α2$ \alpha\over2 ,就可以得到半角公式.

3）正切恒等式

在三角形ABC中，有：

正切恒等式：在三角形

△ABC

\triangle ABC

中,存在:

tanA+tanB+tanC=tanA\cdottanB\cdottanC

tanA+tanB+tanC=tanA\cdot tanB\cdot tanC .

证明：在三角形中， $∠A+∠B+∠C=π$ \angle A+\angle B+\angle C=\pi

$∴A=π-(B+C)$ \therefore A=π-(B+C)

$∴tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-tanB+tanC1-tanB\cdottanC$ \therefore tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-\frac{tanB+tanC}{1-tanB\cdot tanC}

由 $tanA=-tanB+tanC1-tanB\cdottanC$ tanA=-\frac{tanB+tanC}{1-tanB\cdot tanC} 可得 $tanA(1-tanB\cdottanC)=-(tanB+tanC)$ tanA(1-tanB\cdot tanC)=-(tanB+tanC) ,

$tanA-tanA\cdottanB\cdottanC=-(tanB+tanC)$ tanA- tanA\cdot tanB\cdot tanC=-(tanB+tanC) ,

$tanA+tanB+tanC=tanA\cdottanB\cdottanC$ \bbox [yellow,5px,border:2px solid fuchsia]{tanA+tanB+tanC= tanA\cdot tanB\cdot tanC} .

同理可得，当 $∠A+∠B+∠C=nπ$ \angle A+\angle B+\angle C=n\pi （ $n\inZ$ n\in \bold{Z} ）时，正切恒等式仍成立.

3 ★余弦定理★

现在我们对于求各种角度的三角函数值，应该已经游刃有余了.那么遇到题目怎么去做呢？

下面介绍一个十分非常重要好用常用的定理：

余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.若记三角形

△ABC

\triangle ABC 中

∠A,∠B,∠C

\angle A,\angle B,\angle C 的对边分别为

a,b,c

a,b,c

,即：

c2=a2+b2-2abcosC

\bbox [yellow,5px,border:2px solid fuchsia]{c^2=a^2+b^2-2abcosC}\\

注意到，当 $∠C=π2$ ∠C=\frac{π}{2} 时，即 $∠C$ ∠C 为直角时， $cosC=cosπ2=0$ cosC=cos\frac{\pi}{2}=0 , $2abcosC=0$ 2abcosC=0 .

则有 $c2=a2+b2$ c^2=a^2+b^2 ,即勾股定理.

由此可知，当三角形中的一个内角和两条边长的比值后，既可以算出其他任何角度和边长的长度.根据题目需要算出答案即可.

余弦定理在几何题还算很好用的，会在例题篇中给出几道使用余弦公式的例题.

三几何定理

1 角平分线定理

如图，三角形 $ABC$ ABC 中， $AO$ AO 平分 $∠BAC$ \angle BAC .记 $△AOB$ \triangle AOB 的面积为 $S1$ S_1 , $△AOC$ \triangle AOC 的面积为 $S2$ S_2 ,作 $， OM，ON$ OM，ON 分别垂直 $， AB，AC$ AB，AC 于点 $， M，N$ M，N .作 $AH$ AH 垂直 $BC$ BC 于点 $H$ H .

角平分线定理

因为角平分线到角两边距离相等，所以 OM=ON

S_1\over S_2 = \frac{1}{2}AB\cdot OM \over\frac{1}{2}AC \cdot ON = AB \over AC

又 S_1\over S_2 = \frac{1}{2}BO\cdot AH \over\frac{1}{2}CO \cdot AH = BO\over CO

\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BO}{CO}

2 角平分线长定理

如图，三角形 ABC 中， CO 平分 \angle ACB .记三角形 \triangle ABC 中 \angle A,\angle B,\angle C 的对边分别为 a,b,c .

CO=\displaystyle\sqrt {ab\left(1-\frac{c^2}{(a+b)^2}\right)}

个人习惯用这个公式，自己推导出来不容易忘.当然还有更简单的形式：

CO^2=AC\cdot BC-AO\cdot BO

不过如果已知条件为三边边长，需要结合角平分线定理使用.

3 中线长定理

已知三角形三边长度，求一条边上的中线长，可以使用倍长中线，将中线延长一倍后构造成一个平行四边形.

利用余弦定理可得：

在平行四边形 ABCD 中,有： AB=DC,AD=BC,∠A=180°－∠B,\therefore cosA=－cosB.

由余弦定理,有：

AC^2=AB^2+BC^2-2AB\cdot BC\cdot cosB……(\mathbf{i})

BD^2=AD^2+AB^2-2AD\cdot AB\cdot cosA……(\mathbf{ii})

联立 (\mathbf{i}) 和(\mathbf{ii})得： AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2=2AB^2+2AD^2.

得到定理：平行四边形的四条边的边长的平方和等于对角线长的平方和.

\displaystyle\therefore AO=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2AB^2+2AD^2-BD^2}}{2}

即中线长定理.

4 梅涅劳斯定理

内容来源于百度百科（太累了不想写了）

5 圆幂定理

圆幂定理包括多个定理，例如相交线定理，托勒密定理.内容比较简单，可以自行上网搜寻了解一下.

四方法与技巧

1 手开根号

在一些题目里会遇到根号.在二次函数应用题中常常遇到一些较大数的平方根.手开平方根还是有很多方法的，不过想要更快的计算一个数的根号，可以使用长除法：

例如计算 \sqrt{666} :

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声明

利用高中数学知识解初中题（降维打击）-数学降维打击法是什么

一 解析几何 AnalyticGeometry\mathbb{Analytic}\;\mathbb{Geometry}

1 关于直线

2 公式

3 导数 Derivative\mathbb{Derivative}

4 圆的方程9

我们便得到了圆的方程：

5 建系

二 解三角形

1 诱导公式

2 三角恒等变换

3 ★余弦定理★

三 几何定理

1 角平分线定理

2 角平分线长定理

3 中线长定理

4 梅涅劳斯定理

5 圆幂定理

四 方法与技巧

四 方法与技巧

1 手开根号

一解析几何 $AnalyticGeometry$ \mathbb{Analytic}\;\mathbb{Geometry}

3 导数 $Derivative$ \mathbb{Derivative}

二解三角形

三几何定理

四方法与技巧

四方法与技巧