重庆市直属校2020届高三下学期3月月考理科数学试题（可打印）-重庆一中高2021级高三上期第二次月考

 

重庆市直属校2020届高三下学期3月月考理科数学试题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．设集合A＝{x|x2＜9}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）

A．{0，1，2}​B．{﹣1，0，1，2}​

C．{﹣2，﹣1，0，1，2}​D．{﹣2，﹣1，0}

2．设（1+i）（a+bi）＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a+bi|＝（ ）

A．2​B．​C．​D．

3．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，则log2a9＝（ ）

A．15​B．16​C．17​D．18

4．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为（ ）

A．﹣8​B．﹣6​C．1​D．3

5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）

A．​B．​C．​D．

6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则（ ）

A．​B．​C．​D．

7．在直角坐标系xOy中，半径为lm的⊙C在t＝0时圆心C与原点O重合，⊙C沿x轴以1m/s的速度匀速向右移动，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y关于时间t （0≤t≤l，单位：s）的函数的图象大致为（ ）

A．

​B．

​

C．

​D．

8．的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x3的系数为（ ）

A．40​B．30​C．20​D．10

9．设函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，如果，x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（ ）

A．​B．​C．​D．

10．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，球O的半径为4，△ABC是边长为6的等边三角形，记△ABC的外心为O1．若三棱锥P﹣ABC的体积为则PO1＝（ ）

A．​B．​C．​D．

11．设双曲线）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），若圆A：（x+a）2+y2＝a2与直线bx﹣ay＝0交于坐标原点O及另一点E，且存在以O为圆心的圆与线段EF相切，切点为EF的中点，则双曲线的离心率为（ ）

A．​B．​C．​D．3

12．函数f（x），若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是（ ）

A．​B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）​

C．（﹣∞，﹣1）∪{1}​D．（﹣1，0）∪{1}

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量与的夹角为120°，且，则　 　．

14．已知函数f（x）＝3|x﹣a|（a∈R）满足f（x）＝f（4﹣x），则实数a的值为　 　．

15．设各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足Sn2﹣（n2+n﹣2）Sn﹣2（n2+n）＝0，n∈N*，则数列的前2020项和T2020＝　 　．

16．设抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为1，弦AB过点F且中点为M，过点F，M分别作AB的垂线交l于点P，Q，若|AF|＝3|BF|，则|FP|•|MQ|＝　 　．

三、解答题：（共70分）

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

（Ⅰ）求角B的大小；

（Ⅱ）若a＝4，且BC边上的高为，求△ABC的周长．

18．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°．

（Ⅰ）求证：平面BFC⊥平面BCDE；

（Ⅱ）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值．

19．为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N（μ，σ2）．在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查．

（Ⅰ）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：

9.78

10.04

9.92

10.14

10.04

9.22

10.13

9.91

9.95

9.96

9.88

10.01

9.98

9.95

10.05

10.05

9.96

10.12

经计算得xi＝9.96，s0.19

其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i＝1，2，…，20．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？

（Ⅱ）假设生产状态正常，记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X＝1）及X的数学期望．

附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95．

20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C交于A，B两点．△ABF2的周长为，且椭圆的离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程：

（Ⅱ）设点P为椭圆C的下顶点，直线PA，PB与y＝2分别交于点M，N，当|MN|最小时，求直线AB的方程．

21．已知函数f（x）＝eax﹣x﹣1，且f（x）≥0．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为k，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f（x0）＝k成立？若存在，求出x0的值（用x1，x2表示）；若不存在，请说明理由．

请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于M，N两点．

（Ⅰ）若点P的极坐标为（2，π），求|PM|•|PN|的值；

（Ⅱ）求曲线C的内接矩形周长的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R．

（Ⅰ）当f（2）+f（﹣2）＞4时，求a的取值范围；

（Ⅱ）若a＞0，∀x，y∈（﹣∞，a]，不等式f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，求a的取值范围．

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，

∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．

故选：C．

2．由题意可知：，

∴a＝1，b＝﹣1，

∴3a+bi＝3﹣i，

∴|3a+bi|＝|3﹣i|，

故选：D．

3．∵数列{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，

∴2q2＝2×2q+16，且q＞0，

解得q＝4，

∴log2a917．

故选：C．

4．由题意作平面区域如下，

由解得，A（﹣4，﹣2），z＝x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值．

故z＝x+y的最小值是﹣6，

故选：B．

5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，

这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，

基本事件总数n10，

所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m7，

则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p．

故选：B．

6．∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，

E，F分别在线段DB，DD1上，且，

∴EF∥BD1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，

∵G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，∴AF∥BG，

∴．

故选：B．

7．根据题意，⊙C的半径为1，则其周长l＝2π，

当t＝0时，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x＝π，此时y＝cosπ＝﹣1；

当t时，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x，此时y＝cos0；

当t＝1时，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x＝2π，此时y＝cos2π＝1；

据此排除BCD；

故选：A．

8．∵ 的展开式中，各二项式系数和为2n＝32，∴n＝5．

再令x＝1，可得各项系数和为（m+1）5＝243＝35，∴m＝2，

则展开式中的通项公式为 Tr+1•m5﹣r•，令53，可得r＝4，

故展开式中x3的系数为•2＝10，

故选：D．

9．根据函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，

可得，∴ω＝2．

再根据五点法作图可得2•φ，∴φ，∴f（x）＝cos（2x）．

如果，x1≠x2，

则 2x1∈（，），2x2∈（，），

∵f（x1）＝f（x2），∴2x1（ 2x2）＝0，∴x1+x2，

则f（x1+x2）＝cos（）＝coscos，

故选：B．

10．由题意可得：S△ABC9，O1A＝2，O1O＝2．

设点P到平面BAC的高为h，由h×9，解得h＝4．

∴点P所在小圆⊙O2（⊙O1与⊙O2所在平面平行）上运动，OO2＝2．

∴O2P＝2．

∴PO12．

故选：D．

11．联立．

⇒E（，），

∵OE＝OF，∴，

∴4a4＝c4⇒e．

故选：B．

12．当x≥0时，f′（x）e1﹣x（1﹣x），

所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

且f（0）＝0，当x→+∞时，f（x）→0，当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（x）的图象如图所示：

令t＝f（x），则由上图可知当t＝0或1时，方程t＝f（x）有两个实根；

当t∈（0，1）时，方程t＝f（x）有3个实数根；

当t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，方程t＝f（x）有一个实数根，

所以关于x的方程程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根

等价于关于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有两个实数根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），

当t1＝0，t2＝1时，a＝1，

当t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，（02﹣a×0+a﹣a2）（12﹣a×1+a﹣a2）＜0，解得﹣1＜a＜0，

综上所述，a∈（﹣1，0）∪{1}．

故选：D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．因为向量与的夹角为120°，且，

所以：||；

则cos120°＝10×（）＝﹣5；

故答案为：﹣5．

14．∵f（x）＝f（4﹣x），

∴函数关于x＝2对称，

即f（a）＝f（4﹣a），

即3|a﹣a|＝3|4﹣a﹣a|，

即30＝3|4﹣2a|

即|4﹣2a|＝0，得2a﹣4＝0，

得a＝2，

故答案为：2

15．依题意，由Sn2﹣（n2+n﹣2）Sn﹣2（n2+n）＝0，n∈N*，可得

[Sn﹣（n2+n）]（Sn+2）＝0．

∵数列{an}的各项均为正数，∴Sn＞0．

∴Sn＝n2+n，n∈N*．

当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，

当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝2n．

∴an＝2n，n∈N*．

∴（）．

∴T2020

（1）（）（）

（1）

（1）

．

故答案为：．

16．如图，作BF⊥l于F，作AE⊥l于E，令准线于x轴交点为S，AB交准线于K．

设BH＝m，则AF＝3m，

∵，∴BK＝2m

则sin∠HKB，∴∠HKB＝30°．

∵，∴，∴，

∴FK＝2．

∴．

QM＝MK•tan30°＝4m×tan30°．

则|FP|•|MQ|．

故答案为：．

三、解答题：（共70分）

17．（Ⅰ）∵．

∴由正弦定理可得：sinC＝sinB（cosAsinA），

∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，

∴可得：sinAcosBsinBsinA，

∵A∈（0，π），sinA＞0，

∴cosBsinB，

∵B∈（0，π），

∴tanB，B．

（Ⅱ）如图，AD，B，则c＝AB2，

又a＝4，在△ABC中，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB＝4，可得b＝2，

可得△ABC的周长为a+b+c＝6+2．

18．（Ⅰ）证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，

∴DE⊥平面BEF，∴DE⊥BF，

∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，

∵∠FEB＝60°，∴由余弦定理得BF，

∴EF2＝EB2+BF2，∴FB⊥EB，

由①②得BF⊥平面BCDE，

∴平面BFC⊥平面BCDE．

（Ⅱ）解：以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系，

设DE＝a，则D（1，a，0），F（0，0，），（﹣1，﹣a，），

∵直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，

∴直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为，

平面BCDE的法向量（0，0，1），

∴|cos|，解得a＝2，

∴D（1，2，0），C（﹣2，2，0），∴（0，2，0），（﹣1，﹣2，），

设平面EDF的法向量（x，y，z），

则，取z＝1，得（），

同理得平面DFC的一个法向量（0，，2），

∴cos，

∴二面角E﹣DF﹣C的正弦值为sin．

19．（I）由9.96，s＝0.19．

可得：9.96，0.19，

由样品数据看出有一样药品的主要药理成分（9.22）含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）＝（9.39，10.53）之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查．

（II）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.0026，

故X～B（20，0.0026），∴P（X＝1）0.997419×0.0026≈0.0494．

X的数学期望E（X）＝20×0.0026≈0.052．

20．（Ⅰ）由题意可得：4a＝4，，

∴a，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝1，

∴椭圆C的方程为：；

（Ⅱ）点P（0，﹣1），F1（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），

显然直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为：x＝my﹣1，则可知m≠﹣1，

联立方程，消去y得：（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，

∴，，

直线PA的方程为：（y1+1）x﹣x1y﹣x1＝0，可得，

同理，

|MN|＝||＝3||＝336，

当m＝0时，|MN|＝6，

当m≠0时，|MN|＝6，

由于m∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），则，此时|MN|的最小值为6＜6，在m＝1处取得，

综上所述，当|MN|最小时，直线AB的方程为：x＝y﹣1，即x﹣y+1＝0．

21．（1）若a≤0，则对一切x＞0，f（x）＝）＝eax﹣x﹣1＜0，不符合题意，

若a＞0，f′（x）＝aeax﹣1，令f′（x）＝aeax﹣1＝0可得x，

当x时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

故当x时，函数取得最小值f（），

由题意可得，有0①，

令g（t）＝t﹣tlnt﹣1，则g′（t）＝﹣lnt，

当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，

故当t＝1时，g（t）取得最大值g（1）＝0，当且仅当1即a＝1时①成立，

综上a＝1；

（II）由题意可知，k1，

令t（x）＝f′（x）﹣k＝ex，则可知y＝t（x）在[x1，x2]上单调递增，

且t（x1）[（x2﹣x1）﹣1]，t（x2）[e（x1﹣x2）﹣1]，

由（I）可知f（x）＝ex﹣x﹣1≥0，x＝0时取等号，

∴（x2﹣x1）﹣1≥0，e（x1﹣x2）﹣1≥0，

∴t（x1）＜0，t（x2）＞0，

由零点判定定理可得，存在x0∈（x1，x2），使得t（x0）＝0且，

综上可得，存在x0∈（x1，x2），使f（x0）＝k成立

请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，转换为直角坐标方程为．

点P的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（﹣2，0）由于点P（﹣2，0）在直线l上，

所以直线l的参数方程为（t为参数），转化为（t为参数），

所以代入曲线的方程为，

整理得，

所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝4．

（Ⅱ）不妨设Q（），（），

所以该矩形的周长为4（）＝16sin（）．

当时，矩形的周长的最大值为16．

[选修4-5：不等式选讲]

23．（1）f（2）+f（﹣2）＞4，可得2|2﹣a|﹣2|2+a|＞4，即|a﹣2|﹣|a+2|＞2，

则或或，

解得a≤﹣2或﹣2＜a＜﹣1或a∈∅，则a的范围是（﹣∞，﹣1）；

（2）f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，等价为f（x）max≤（|y+3|+|y﹣a|）min，

其中当x，y∈（﹣∞，a]，|y+3|+|y﹣a|≥|y+3+a﹣y|＝|a+3|＝a+3，当且仅当﹣3≤y≤a取得等号，

而f（x）＝﹣x（x﹣a）＝﹣（x）2，当且仅当xa时取得等号．

所以a+3，解得0＜a≤6．