中考压轴几何题，通过等价变形后化难为简-等价类题目例题

这是今日头条网友分享的一道中考压轴几何题，求动态线段最小值的题目，感觉有点难度。

题目：已知四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠BCD =30°，AB=AD，BC+CD=12√3，连接AC，求AC的最小值是多少。

中考压轴几何题

解题分析：△BCD中，∠C=30°，∠C的两条边长和是定值，也就是说B、D是∠C两条边上的动点，满足BC+CD=12√3就可以了。同时BD是等腰直角三角形ABD的底边，也就是说随着BD长度的变化，等腰直角三角形也相应缩放。在这个过程中，求AC长的最小值。

好像很难，无从下手，我们把着手点放在寻找它的等价变形题。等腰直角三角形给旋转变形带来了方便，我们可以试一下。

把△ACD绕A点顺时针旋转90°，转到△AEB的位置。此时BC+CD=BC+BE，∠CBE=120°；△ACE是等腰直角三角形，求AC的最小值等同于求CE的最小值。

等价变形几何题

等价变形题就是：在△BCE中，BC+BE=12√3，∠CBE=*120°，求CE的最小值。

在这里，我们可以用余弦定理求CE的表达式，然后根据表达式来求最小值。为了解题方便，设BE=a，BC=b，CE=c，则有：

c²=a²+b²-2abcos120°

=a²+b²+ab

=a²+b²+2ab-ab

=(a+b)²-ab

=(12√3)²-ab

要求c²的最小值只要求ab的最大值。已知a+b为定值，所以根据基本不等式a=b时ab最大，即a=b=6√3时ab最大，c²最小，即：

c²最小=(12√3)²-(6√3)²=18²，

c最小=18，

AC最小=18/√2=9√2。

后记：因为∠CBE=120°，是个定值，几何方法可以考虑用圆的性质来解。