解题方法谈

换元法的应用

肖柏荣 （南京市第廿九中学）

换元法是数学中一种常用的方法，它通过引入新的辅助未知数，可以变更问题，使之化难为易。它的应用方面很多，例如，在化简、解方程（组）、证恒等式与不等式、求函数极值等方面都有应用。下面结合例子，说明这些方面的应用以及应用中的若干技巧。

（一）化简

［例1］化简.

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解 此题除用同角三角函数关系化简之外，还可以令y=csc x，将三角式的化简转化为代数式的化简问题。

∴ 原式

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［例2］化简.

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解 直接进行计算比较复杂，易造成计算错误. 引入辅助未知数p=√x、q=√y，化去根号，即可转为有理式的化简问题.

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（二）解方程（组）

［例3］解方程组.

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解 只要把各方程两边的分子、分母颠倒，使左边都分成两个分式的和(这是应用换元法的重要一着)，原方程组即可化为

图片，令

可将分式方程组转化为整式方程组

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则得

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进而解得

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(均适合原方程)

［例4］解方程.

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解 令

则有

(y+1)⁴+(y-1)⁴=16

y⁴+4y³+6y²+4y+1+y⁴-4y³+6y²-4y+1=16

y⁴+6y²-7=0

(以下略)

由以上过程(奇次项全部抵消)可见，把

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设为y比将题中两个括号内的任意一个设为y都好.

（三）证恒等式(或条件等式)

［例5］求证：

(1+x+x²+...+xⁿ)²-xⁿ

=(1+x+x²+...+xⁿ⁻¹)(1+x+x²+...+xⁿ⁺¹)

证明 直接证明较为复杂，令y=1+x+x²+...+xⁿ⁻¹，那么原式即转化为

(y+xⁿ)²-xⁿ=y(y+xⁿ+xⁿ⁺¹)

即 y²+2yxⁿ+x²ⁿ-xⁿ=y²+yxⁿ+yxⁿ⁺¹

亦即

(y-xy)xⁿ=(1-xⁿ)xⁿ (*)

然而

y-xy=(1+x+x²+...+xⁿ⁻¹)-(x+x²+x³+...+xⁿ⁻¹+xⁿ)

=1-xⁿ

即(*)式成立，从而原式亦成立.

［例6］ 设a+b+c=abc，求证：

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证明 直接证明需通分变形，且条件不易用上. 若令

a=tan α，b=tan β，c=tan γ，可化为三角函数的条件等式来证明. 此时，条件a+b+c=abc即

tan α+tan β+tan γ=tan α tan β tan γ .

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故原式得证.

［例7］如果cos A=tan B，cos B=tan C，cos C=tan A，求证：

sin²A=sin²B=sin²C=4sin²18°

证明 欲求得sin²A、sin²B、sin²C之值，只要求得cos²A、cos²B、cos²C .为此，将已知三等式两边平方，得

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令x=cos² A、y=cos² B、z=cos² C，便将此三角问题转化为下面代数方程组的求解问题：

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将(3)代入(2)，得

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将(4)代入(1)，得

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代入方程组中，得

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(四)证不等式

［例8］若a、b、c为互不相等的正数，求证：

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证明 因a、b、c∈R⁺，欲证原不等式，只要证

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若令x=a+b、y=b+c、z=c+a，这里x、y、z亦为互不相等的正数，即证

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而这是我们较熟悉的不等式，证明留给读者。

［例9］已知a、b、c皆正数，求证：

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证明 欲证原不等式，只要证

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即证

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若令

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（显然u、v皆正数），证原不等式即转化为证

u³-3uv²+2v³≥0 (**)

而(**)式的左边为

u³-uv²-2uv²+2v³=u(u²-v²)-2v²(u-v)

= (u-v)(u²+uv-2v²)

=(u-v)²(u+2v)≥0

由(**)式成立即可推得原不等式的成立。

（五）求函数极值

［例10］如果α是锐角，试求

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的极值。

解 令

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由万能置换公式

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那么

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从而化为求代数函数的极值问题. 这里，用判别式法求y的极小值：

1+t=yt(1-t)，yt²+(1-y)t+1=0

因为y应为实数值，所以

Δ=(1-y)²-4y≥0

即y²-6y+1≥0，得y≤3-√2或y≥3+2√2 . 由于α是锐角，

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所以只能有y≥3+2√2 . 当y=3+2√2时，相应的t值为√2-1，故α=45° . 因此，当α=45°时，

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有极小值3+2√2.

由以上举例可见，换元法应用广、作用大，它是使矛盾转化的有力杠杆，是使计算简化的工具，是沟通各科知识的桥梁。我们应熟练地掌握这种方法。

读后感

这篇文章很精彩，给人启迪。例3也可以称为倒数法。题目的分式是分母做加减法，分子做乘法，这就很麻烦。这时我们应该想到倒数法，如果是分母做乘法，分子做加减法，我们就不怕了。

现在我们就拿一道1989年的高考题来练练手。

题目呈现：解方程(x-1999)(x-2001)=8

分析：把题目化为一元二次方程x²-4000x+3999999=8，虽然可以求解方程，但是不是好办法。题目数字比较大，所以不能硬拼，只能智取。

我们可以用换元法来巧解方程。

受到例4的启发，我们可以设y=x-2000，这比题目中两个括号的任何一个设为y都好，还可以应用平方差公式。

于是原方程转化为

(y+1)(y-1)=8

解得y₁=3，y₂=-3

于是得到x₁=1997，x₂=2003

悟道·方法背后的原理

第一感，转化是解题的关键环节。再举个转化的例子。

求cos(-2040°).

解：cos(-2040°)=cos(2040°)=cos(6×360°-120°)

=cos(120°)=cos(180°-60°)=-cos(60°)=-½

在解题过程中，用诱导公式先把负角转化为正角，再化简为锐角三角函数。

再思考一下换元法背后隐藏的原理是什么。其实就是关系映射反演方法。

关系映射反演方法是一种重要的数学方法，简称RMI原理，是数学中应用广泛的方法原理。该原理有化难为易、化生为熟、化繁为简的功能，在数学研究和解题中有非常重要的意义和作用。

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如图所示，给定一个含有原象x的集合A，如果能找到一个可定映射f，将A映入或映满A，则可从A通过一定的数学方法把象x=f(x)确定出来，进而，通过反演f⁻¹又可把x=f⁻¹(x)确定出来。

综上所述，可归纳出正确使用RMI方法的条件。首先映射必须是两类数学对象之间的一一对应关系；并且映射是可定映的；最后对应的逆映射必须具有能行性。从上面的分析，不难看到RMI原理确实是一种广大科技人员普遍采用的思想方法和解题程序，有不容忽视的重要作用。尤其是在解决一些运算程序比较复杂的问题时，如能用RMI原理这条主线把各种方法知识连接贯穿起来，定能收到事半功倍之效。

在生活中这个原理也有很多应用，举个例子，一个男人在浴室对着镜子刮胡子，就是RMI原理的具体应用。数学方面，苏格兰数学家约翰·纳皮尔(1550～1617)在17世纪发明对数是运用RMI原理的精彩案例。

在没有科学计算器也没有电脑的年代，对数的发明大大简化了天文学的计算，相当于延长了天文学家的寿命。而且，对数的发明，对于天文学家开普勒提出行星运动第三定律有很大帮助。当然，开普勒是否是用对数发现了第三定律，我并不知道答案。

RMI原理的内涵极为丰富，它可以概括中学数学的许多重要方法和技巧。例如函数法、参数法、换元法、坐标法、向量法等等，都可以被理解为RMI原理的具体运用。

我们知道一个数学问题，都是由一些已知的数学对象、已知的数学关系和未知的(待定的)数学对象和数学关系组成。在图1中，A和A建立起了确定的对应关系，称为A→A的一个映射关系，并称A为原象关系结构系统，A为映象关系结构系统。如果能通过数学手续把A中的映象目标x确定下来，那么这样的映射称为可定映映射。“反演”指一种对应，它可以是原映射的逆映射或其它对应关系，但必须满足“x可以被x确定”这个条件。

在运用RMI原理时，重要的是映射反演，尤其是选择适当的映射，也就是说映射不仅是可定映的，而且又应该是能反演的。

请看下图。

以前的数学课分为三角，几何，代数等几门学科，而RMI原理却可以架设学科之间沟通的桥梁。例如通过数形结合，既可以把几何问题映射为代数问题，通过代数结论去得到几何结论；还可以把代数问题映射为几何问题，通过几何结论去获得代数结论。