e=2.7…是怎么算出来的？-e值怎么算出来的

10月19日更，更新内容

1.添加了分割线

2.将图片换为了公式

3.添加了高能的泰勒级数

p.s.终于知道你们为什么不愿意答全了...公式简直难添加...尤其是对于我这种用虚拟键盘的，效果拔群.....

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大半夜看到这个题目怒答！！！！终于有我会的了！！！

首先，问题是这样的：怎样求导y=axy=a^{x} ?

现在基本上初等微积分的人都会学过这个问题，但是我们要去看当时人们的想法daxdx=limΔx→0ax+Δx−axΔx\frac{da^{x} }{dx} =\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{x+\Delta x}-a^{x} }{\Delta x} }

=limΔx→0ax(aΔx−1)Δx=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \frac{a^{x}(a^{\Delta x}-1) }{\Delta x} }

=axlimΔx→0aΔx−1Δx=a^{x} \lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{a^{\Delta x}-1 }{\Delta x} }

根据导数的定义式我们能得到以上的内容。那么问题来了，a^x好办，后面的那一大坨怎么办呢？这时我们引入另外一个符号M(a)

设M(a)=limΔx→0aΔx−1ΔxM(a)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{ \frac{a^{\Delta x}-1 }{\Delta x} }

则原式可写为

ddxax=axM(a)\frac{d}{dx} a^{x} =a^{x}M(a)

观察可得

ddxax|x=0=M(a)\frac{d}{dx} a^{x} |_{x=0} =M(a)

∴M(a)可以看作是当x=0时的切线斜率

然后我们做以下定义：定义M(e)=1M(e)=1,即当x=0时切线斜率为1

∴ddxex=exM(e)\frac{d}{dx} e^{x} =e^{x} M(e)

=ex=e^{x}

然后这就是e的产生，但既然说的是y=a^x,那就一次把这个问题说完吧。

∵elna=ae^{lna} =a

∴ax=exlnaa^{x} =e^{xlna}

∴ddxax=ddxexlna\frac{d}{dx}a^{x} =\frac{d}{dx} e^{xlna}

根据链式法则

=lna(exlna)=lna(e^{xlna} )

=lna(ax)=lna(a^{x} )

这时我们就得到了y=a^x的导数，这就是e的产生的全过程。下面是关于e的计算。 我将先证明e的计算式的正确性：

求limn→∞(1+1n)n\lim_{n \rightarrow \infty }{(1+\frac{1}{n})^{n} }

开始计算

取自然对数

limn→∞ln(1+1n)n\lim_{n \rightarrow \infty }{ln(1+\frac{1}{n} )^n}

=limn→∞nln(1+1n)=\lim_{n \rightarrow \infty }{nln(1+\frac{1}{n}) }

设Δx=1n\Delta x=\frac{1}{n}

∴limn→∞=limΔx→0\lim_{n \rightarrow\infty }=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}

∴原式可化为limΔx→0ln(1+Δx)Δx\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{ln(1+\Delta x)}{\Delta x} }

∵ln1=0ln1=0

∴原式可化为limΔx→0ln(1+Δx)−ln1Δx\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{ln(1+\Delta x)-ln1}{\Delta x} }

根据极限的定义

∴上式=1

下一步直接以e为底

elimn→∞ln(1+1n)n=e1e^{\lim_{n \rightarrow \infty }{ln(1+\frac{1}{n})^{n} } } =e^{1}

limn→∞(1+1n)n=e\lim_{n \rightarrow \infty }{(1+\frac{1}{n})^{n} } =e

所以当n的值取得越大，结果就会越接近e。

但是这种方法也是有缺陷的，其他各位答主也提到了，就是收敛速度太慢。用泰勒级数的话会快得多。下面是泰勒级数的方法。

先上泰勒级数计算的一般式

f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f″(x0)2!(x−x0)2+...+fnn!(x−x0)nf(x_0)+f(x_0)(x-x_0)+\frac{f(x_0)}{2!} (x-x_0)^{2} +...+\frac{f^{n} }{n!}( x-x_0)^{n}

关于泰勒级数算法的证明，其实就是通过无限的近似达到接近（线性近似+二阶近似+三阶近似+...+n阶近似）

关于那个公式...我也稍微证明一下吧...感觉今晚作业写不完了

先是线性近似

y=ax+by=ax+b

y′=ay=a

这就是第二项里f的由来

二阶近似

y=ax2+bx+cy=ax^{2} +bx+c

y′=2ax+by=2ax+b

y″=2ay=2a

∴a=y″2a=\frac{y}{2}

这就是第二项中二阶导数的由来，因为是二阶近似，所以后面要平方.

这里注意到分母上的2是2！再往下看

三阶近似

y=ax3+bx2+cx+dy=ax^{3} +bx^{2} +cx+d

y′=3ax2+2bx+cy=3ax^{2} +2bx+c

y″=6ax+2by=6ax+2b

y‴=6ay=6a

a=y‴6a=\frac{y}{6}

这里我们发现

a=y‴3!a=\frac{y}{3!}

更高次项和general formula我就不推了，大家get就好了...

好了回归正题

设y=exy=e^{x}

套公式泰勒级数为

ex=1+x+x22!+...+xnn!e^{x} =1+x+\frac{x^{2} }{2!} +...+\frac{x^{n} }{n!}

取x=1时的值就是e，这个方法会快得多.