初识幂函数-认识幂函数

比较函数 y=xy=x , y=1xy=\frac{1}{x} 以及y=x2y=x^{2} ，可以看到，这三个函数在形式上非常相似。它们的底数都是x，指数分别为1，-1和2。像这种底数为自变量 xx ，指数为常量 aa 形式的函数，称之为幂函数，其形式为y=xay=x^{a} 。

常见的幂函数情形包括 ，，a=1,2,3，12，−1a=1, 2, 3，\frac{1}{2}，-1 这几种。它们的图形如下所示：

观察上图，可以看到有些图形是关于原点对称的。比如y=xy=x , y=1xy=\frac{1}{x} 以及 y=x3y=x^{3}。一般地图像关于原点对称的函数叫做奇函数。在奇函数 f(x)f\left( x \right) 中，f(x)f\left( x \right)和f(−x)f\left( -x \right)的绝对值相等，符号相反，用公式表示为f(x)=−f(−x)f\left( x \right)=-f\left( -x \right)；反之，如果一个函数满足f(x)=−f(−x)f\left( x \right)=-f\left( -x \right)，则该函数一定是奇函数。

观察上图我们还能够看到有些图形是关于y轴对称的，比如 y=x2y=x^{2} ，一般地图像关于y轴对称的函数叫做偶函数。在偶函数 f(x)f\left( x \right) 中，f(x)f\left( x \right)和f(−x)f\left( -x \right)相等，用公式表示为f(x)=f(−x)f\left( x \right)=f\left( -x \right)；反之如果一个函数满足f(x)=f(−x)f\left( x \right)=f\left( -x \right)，该函数一定是偶函数。

当函数f(x)f\left( x \right) 是奇函数或者偶函数时，称函数具有奇偶性。当函数有奇偶性时，可以只研究函数的一半，利用其对称性研究另外一半，可以减少运算量。

一般地，对于函数为f(x)=xaf\left( x \right)=x^{a} 且a>0，当a为奇数时，该函数为奇函数；当a为偶数时，该函数为偶函数。

最后讨论a= 12\frac{1}{2} 时的情景。 y=x12y=x^{\frac{1}{2}} 函数图像如上图所示，可以看到，其定义域在区间 [0,+∞)[0,+\infty) 上，值域在[0,+∞)[0,+\infty) 上，该函数既不是奇函数，也不是偶函数。函数经过点（0,0）和（1,1），在其定义域上是一个增函数。