高考数学关于根的存在性问题，还能这样解，你见过吗？-根的范围问题

这道高考数学真题涉及到很多知识点，包括幂函数、指数函数、对数函数，以及求导和不等式等知识。做一题，就可以复习很多方面的知识，非常经济实惠。让我们一起来看看题目吧！

已知a>0且a1,函数f(x)=x^a/a^x (x>0).若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.

分析：这道题用一般的解法，老黄解不出来。不过下面的解法也是正确的。只是它并不能适用所有这种类型的题目。换句话说，可以用这种解法解这道题，是因为题目本身就是被设计好的。因此这种解法并不能形成一种套路。如果用一种解法就可以解决所有同类问题，那么这种解法就被老黄称为套路。

下面老黄边解题，边讲解。

解：当x^a/a^x=1时，x^a=a^x，【方程的根，就是曲线f(x)与直线y=1的交点的横坐标】

等价于aloga x-x=0.【等式两边取a为底的对数，再移项，转化问题，以降低题目的难度】

记g(x)=aloga x-x,则g(x)=a/(xlna)-1.【接下来讨论g的单调性】

当0

方程aloga x-x=0最多只有一个根.【因为严格单调函数最多只有一个零点，这样就可以排除a在[0,1]的区间上的可能性】

当a>1时，解方程aloga x-x=1,得x=a/lna;【x=a/lna是g(x)的极值点，且是极大值点，因此极点的函数值g(a/lna)必然大于0】

当x0，g(x)单调递增；当x>a/lna时，g(x)<0, g(x)单调递减；

又g(a)=0,【即a是f(x)与直线y=1的一个交点】

所以a/lna不等于a,【若极大值点等于0，则与上面矛盾】

即ae,

当a