什么是量子反常霍尔效应？（什么是量子反常霍尔效应）

量子反常霍尔效应的反常是相对于量子霍尔效应的，量子霍尔效应说的是，在外加强磁场的情况下，由于朗道能级的形成，出现了量子化的霍尔电导，这个霍尔电导是由于手性的边缘态带来的。手性的边缘态由于没有耗散，所以大家希望能够用这个东西来做电子器件。

但是这个东西需要磁场，而且是特别大的磁场。我们都知道要产生磁场是非常困难的，实验上我们获得巨大的磁场的办法是，搞一个特别巨大的螺线圈，然后通一个巨大的电流，利用电流的磁效应来得到磁场，并且为了省钱，我们搞的是超导线圈，这样可以通过减少焦耳热来减少能耗，而这个线圈却要一直浸泡在液氮里面。

（其实前面讲一大堆也没有啥用处，我只是想说这真是太困难了，没戏了）

那有没有一种方法，不需要磁场，就能产生类似于量子霍尔效应的现象呢？那我们就得关注一下这个量子霍尔效应产生的要素中，磁场能不能用别的作用来替换掉。从拓扑的角度来讲，量子化的电导来自于被占据能带的贝里相位为非零整数，那么问题就转变成了：不加磁场，能不能找到一种材料，它的能带拓扑数不是0呢？聪明的Duncan Haldane（这个念好蛋）发现：在量子霍尔效应中，让拓扑数非零的关键点并不在于外加了磁场，而在于体系的时间反演对称性被破坏掉了，外加磁场只是破坏时间反演对称性的一种方式而已。那么，有别的方式可以破坏时间反演对称性吗？

Haldane有了一个非常疯狂的想法，这个想法是这样的：

--------------------以下内容介绍Haldane model可能引起不适，可以直接跳过到下一个分割线后----------------------------------------------------------------------------------------------------

如果有一个由石墨构成的二维蜂巢结构，长这样：

稍微计算一下它的能带结构是这样的：

如果在石墨烯中，考虑次近邻相互作用，并且我们在石墨烯中同时引入两个要素：1. 两种晶格位点的能量不同（这是为了打开能隙）；2. 次近邻相互作用是时间反演破缺的（即次近邻位点上的跃迁矩阵元来回是不相等的），那是不是就能有拓扑数非零的能带呢？

那么怎么去引入这个时间反演破缺的次近邻相互作用？Haldane考虑的是在石墨烯中加入周期性的磁场，就是一会儿正一会儿负但是总的加起来为0的磁场（这样总的来说就是没有磁场），这个图像长这样：

其中a、b分别添加不同方向的磁场，但是大小相等，我们来比较一下最近邻与次近邻的一个圈圈里面包起来的磁通量的差别：

那这样得到的这个体系长啥样呢？我们可以用一个哈密顿量来描述：

看起来比较复杂，跳过，我们写个变形来讲一下这个哈密顿量的物理意义：

其中，右边第一项是石墨烯只考虑最近邻跃迁的哈密顿量；即紧束缚近似的结果，第二项是在A、B位点加不同的势能，它的作用在于在石墨烯的Dirac点处打开一个能隙，这样就得到了两个分立的能带；第三项就是时间反演破缺的次近邻相互作用，它的作用就是打破时间反演对称性。

我们可以看到，Haldane model中有一个自由度是我们可以调控的，这就是加入的周期性磁场的大小，那我们就能计算拓扑数随着这个磁场的大小的演化了呀。这个磁场的大小我们用比如说a这个小格格里面的磁通量 ϕ\phi 来表示，在不同的范围内价带的拓扑数（即陈数）是不同的，这个相图长这样：

可以看到，在某些范围内，我们确实得到了非0的拓扑数。我们把陈数非0的二维材料叫做陈绝缘体，即Chern Insulator。

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这个想法之所以疯狂在于：1. 当时还没有石墨烯这种东西，大家一直觉得单原子层的东西是不可能稳定存在于二维平面的（后来石墨烯出来啪啪打脸）；2. 怎么去加这个A、B位点的不同的势能？3. 这个周期性的磁场不是比原来的磁场更难了吗？？？！！！结构这么复杂，你跟我们做实验的说要去做这个？？？！！！那我们果断退学吧。。。

但是，他成功地向我们展示了一种可能：不加磁场确实是能实现我们想要的效果的。而且他告诉我们： 这里重要的是时间反演对称性而不是磁场！

后来的后来，我们当然就放弃了这个思路，我们实验上实现反常量子霍尔效应的思路是这样的：首先，得到一个量子自旋霍尔效应（各种拓扑绝缘体的名字非常非常的像但是内容一点也不像，非常让人头疼），它的边缘态是由自旋相反的电子组成的两个不同方向的通道，长这样：

对它进行磁性掺杂，就可以抑制其中一个通道，得到量子反常霍尔效应的通道，长这样：

那测量结果长啥样呢？长这样：

值得一提的是，这项工作由清华大学的薛其坤老师团队完成，被杨振宁先生评价为：诺奖级别的工作。该团队几乎包括了现在清华物理系所有做低温输运的老师，以及中科院物理所的方忠戴希这对金牌搭档，以及BHZ模型之一的张首晟老师。

2018年的诺奖颁给了David J. Thouless, F. Duncan M. Haldane and J. Michael Kosterlitz "for theoretical discoveries of topological phase transitions and topological phases of matter."

（一个笑话：据说Thouless先生拿奖的时候已经痴呆了，并不知道自己得奖了，但是大家看到他迅疾地将自己的google scholar的头像换成了自己自己拿奖的照片。

一个悲伤的消息：Thouless先生在前几天去世了。）

Haldane先生获奖正是因为那个疯狂的模型。

虽然薛老师团队并没有被授予2016年的诺贝尔奖，但是如此重要的工作必然被记入物理学史册，正所谓：成功不必在我，功力必不唐捐。

参考：

2：Haldane, F. D. M. Model for a quantum hall effect without landau levels: Condensed matter realization of the ”parity anomaly”. Phys. Rev. Lett., 61, 2015–2018 (1988).