傅立叶变换定义整理（傅立叶变换讲解）

 

傅立叶变换目录如下连续信号周期信号的傅立叶级数展开非周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换离散信号离散时间傅立叶级数离散时间傅立叶变换周期信号的傅立叶级数展开可以展开成三角函数，余弦函数，或正弦函数f

(t)=a0+∑n=1∞(ancosnωt+bnsinnωt)f(t) = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}(a_ncosn \omega t + b_n sinn \omega t )

f(t)=c0+∑n=1∞cncos(nωt+ϕn)f(t) = c_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}c_n cos(n \omega t + \phi_n)f(t)=d0+∑n=1∞

dncos(nωt+θn)f(t) = d_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}d_n cos(n \omega t + \theta_n)an,bna_n, b_n 等为傅立叶系数也可以展开成复指数级数

f(t)=∑n=−∞∞Fnejnωtf(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}F_n e^{jn \omega t}(1)Fn=F(nω)=1T∫t0t0+Tf(t)e−jnω

t\tag{1} F_n = F(n \omega) = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)e^{-jn \omega t}这里引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导

cnc_n 是实函数， FnF_n 一般是复函数傅立叶系数的关系Fn+F−n=anF_n + F_{-n} = a_n ， Fn=12(an−jbn)F_n = \frac{1}{2}(a_n - jb_n)

j(Fn−F−n)=bnj(F_n - F_{-n}) = b_n ， F−n=12(an+jbn)F_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + jb_n) phase(Fn)=arctan(−

bnan)=φphase(F_n) = arctan(-\frac{b_n}{a_n}) = \varphiphase(F−n)=arctan(bnan)=−φphase(F_{-n}) = arctan(\frac{b_n}{a_n}) = -\varphi

非周期信号的傅立叶变换由于周期 TT趋近无限大 ，则频谱间隔无穷小，趋向于连续，谱线高度趋近于零因此得到连续的频谱密度函数替代原有的离散频谱，推导过程如下：F(ω)=limT→∞F(nω)T=limT→

∞∫t0t0+Tf(t)e−jnωtdtF(\omega) = \lim_{T \to \infty}F(n\omega ) T =\lim_{T \to \infty}\int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)e^{-jn \omega t}dt

非周期信号的傅立叶变换：(2)F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdtF(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j \omega t}dt \tag{2}幅频一般为

|F(ω)||F(\omega)|非周期信号的傅立叶逆变换：(3)f(t)=12π∫∞∞F(ω)ejωtdωf(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega \tag{3}

推导过程如下f(t)=∑n=−∞∞F(nω)ejnωtf(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}F(n\omega)e^{jn\omega t} ， F(nω)=F(ω)T F(n\omega) =\frac{ F(\omega)}{T}

f(t)=∑n=−∞∞F(nω)ωejnωtω=∑nω=−∞∞F(ω)2πejnωtΔ(nω)=12π∫∞∞F(ω)ejωtdωf(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \frac{F(n\omega)}{\omega}e^{jn\omega t} \omega = \sum_{n\omega = -\infty}^{\infty}\frac{F(\omega)}{2\pi}e^{jn\omega t}\Delta(n\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega

傅立叶变换存在的充分条件是(4)∫−∞∞|f(t)|dt<∞\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty \tag{4}周期信号的傅立叶变换周期信号不满足 (4)(4)

的绝对可积条件，有可能积分不收敛但引入冲激信号之后，冲激的积分有意义，在这个意义下，周期信号的傅立叶变换存在周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变换是一系列冲激周期信号的傅立叶变换定义如下：f

(t)=∑n=−∞∞Fnejnωtf(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}F_n e^{jn \omega t}(5)FT[f(t)]=F(ω)=2π∑n=−∞∞Fnδ(ω−

nω)FT[f(t)] = F(\omega) = 2\pi \sum_{n = - \infty}^{\infty} F_n \delta(\omega - n \omega) \tag{5}由一些冲激组成离散频谱，大小不是有限值，而是无穷小频带内有无穷大的频谱值

周期信号傅立叶级数(Fourier Series)和单周期信号傅立叶变换(Fourier Transform)的关系：Fn=1T∫t0t0+Tf(t)e−jnω1tF_n = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)e^{-jn\omega_1 t}

取 f(t)f(t) 的一个周期 f0(t)f_0(t) ,F0(ω)=FT[f0(t)]=∫t0t0+Tf0(t)e−jωtF_0(\omega) = FT[f_0(t)] = \int_{t0}^{t_0 + T}f_0(t)e^{-j\omega t}

Fn=F0(ω)T|ω=nω1F_n = \frac{F_0(\omega)}{T} |_{\omega = n\omega_1}采样率和信号频率上限的关系：采样频率要大于信号频率的两倍，才能无损表达信号。

如果小于两倍的话，即两个采样点之间，信号运动超过半个周期，那么这个信号我们采不到，比如信号正好变化了一整个周期，相当于没有在最后的信息中体现出来所以我们假定一段音乐的频率上限就是采样率的二分之一离散时间傅立叶级数。

x(n)=∑k=0N−1X(k)ej2πNknx(n) = \sum_{k = 0}^{N - 1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}X(k)=1N∑n=0N−1x(n)e−j2πNkn

X(k) = \frac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N - 1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}与连续型基本一致，要注意到ek(n)=ej2πNkn=ej2πN(k+rN

)n=ek+rN(n)e_k(n) = e^{j\frac{2\pi}{N}kn} = e^{j\frac{2\pi}{N}(k + rN)n} = e_{k + rN}(n)因此谐波成分只有 NN 个独立量

离散时间傅立叶变换非周期序列 傅立叶变换：X(ejω)=∑n=−∞∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n}

，序列到连续函数逆变换：x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωndωx(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega

，连续函数到序列逆变换表明离散时间序列可以分解为频率在 2π2\pi 区间上分布的、幅度为 12πX(ejω)dω\frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})d\omega 的线性组合积分区域任选长度为

2π2\pi 即可逆变换推导：x(n)=1N∑k=0N−1X(ejkω0)ejkω0nx(n) = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N - 1}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}

w0=2πNw_0 = \frac{2\pi}{N}x(n)=12π∑k=0N−1X(ejkω0)ejkω0nw0x(n) = \frac{1}{2\pi}\sum_{k = 0}^{N - 1}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}w_0

N→∞,kω0→ω,ω0→dω,∑→∫N \to \infty, k\omega_0 \to \omega, \omega_0 \to d\omega, \sum \to \intx(n)=12π∫−π

πX(ejω)ejωndωx(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega周期序列DTFT(x[n])=2

π∑k=−∞∞X(k)δ(ω−2πkN)DTFT(x[n]) = 2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k)\delta(\omega - \frac{2\pi k}{N})取单周期信号，傅立叶变换为

X(ejω)=∑n=0N−1x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n = 0}^{N - 1}x(n)e^{-j\omega n}而周期序列的傅立叶级数为X(k)=1N∑n=0

N−1x(n)e−j2πNknX(k) = \frac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N - 1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}X(k)=1NX(ejω)|ω=2πNkX(k) = \frac{1}{N}X(e^{j\omega})|_{\omega = \frac{2\pi}{N}k}