手把手教你理解傅里叶变换（傅里叶变换简介）

大噶好！今天，补一篇关于图像处理中的傅里叶变换的讲解上期我们讲了CTF（衬度转换函数）的相关科普理论：Kourai：衬度转换函数（CTF）浅显易懂通俗讲解90 赞同 · 19 评论文章

这篇本应在CTF之前因为只有理解了傅里叶变换，才能真正理解CTF的概念，以及电子显微镜成像和图像处理的后续内容所以推荐新入坑的大家先从本篇读起 傅里叶变换本质上只是一个数学公式而已，但是它在各个领域的应用非常多，变式也非常广泛，我本篇只跟大家讲一讲在图像处理中所用到的傅里叶变换。

不局限于电子显微镜图像处理，而是针对于普遍的数字图像处理 回忆一下，平时在哪些场景下听到过傅里叶变换这个词收数据的时候，我们要看某一个视野的FFT图，收完后我们要做CTF correction，重构的时候涉及到一个中心截面定理，还有文献中会讲到Nyquist frequency，还有高通、低通滤波。

相信大家对这些概念（耳朵）已经非常熟悉了，但是，真正想要讲出它的原理时，又或多或少会有些困惑理解这些概念的核心，其实都是理解傅里叶变换那么傅里叶变换，对应的基本数学公式是什么，傅里叶变换这样一个数学变换，它又是怎么与拍摄的图片产生联系，怎么用它来描述图片的呢？。

傅里叶变换，是用来处理数字信号的，本质上讲，是一种理解方式的变化，是从不同的视角去看待同样的信息。 这个人，就是傅里叶。

这张照片，它经过傅里叶变换之后，就得到了这张看起来灰蒙蒙的图。

变换前的我们把它称为源图像（Image），变换后的称为傅里叶频谱图(Fourier Spectrum)，它们两者所包含的信息是完全等价的，所变化的，只是表示方式和理解方式。

在实空间，我们把一张图理解成是由像素点构成的，这些像素点处于不同空间位置，具有不同的亮度，最后就合成了一张有特征有细节，有一定尺寸的照片，这样呢，一张图就是一个空间的加和或者，因为它是由，位于不同空间位置，具有不同亮度值的点构成的，我们把它称作一种分布，亮度随空间位置的分布。

而一张图它实际上还可以有另外一种理解方式。一张图可以拆解成，一个低分辨图层，对于这张人像图来说呢就是大致的明暗色块:

一个中低分辨率图层，五官和衣领:

一个中高分辨图层，瞳孔，牙齿，衣褶:

一个高分辨图层，比如衣服的材质，头发丝，还有一些噪声。

实际上一张图可分1000层，1w层，甚至无限细分，然后每一层都有一个确切的分辨率的数值因为每个分辨率的图层，它的对比度不同，比如第一个图层，它的对比度就很高，黑白差异很明显的，第二个就低一些，要仔细看才能看清，第三个对比度就更低了。

对比度，或者用术语我们称为强度，强度不同所以，一张图又可以理解为强度随分辨率的分布，就是不同分辨率的图层，它具有不同的强度

所以,在实空间我们把一张图理解成亮度随空间位置的分布,在傅里叶空间,我们把一张图理解成强度随分辨率的分布 图像的一个特定分辨率范围的图层，就对应于傅里叶频谱图中的一个特定半径范围的圆环，更进一步地，一个特定分辨率的图层，它就对应于傅里叶频谱图中一个特定半径的圆圈。

也就是说，频谱图我们应该这么看，从内到外，每一个圆环，包含一个分辨率的全部信息越是外圈的圆环，就对应于越是高分辨率的信息随着傅里叶空间中一个一个圆环加合成一整张傅里叶频谱图，相应地不同分辨率图层叠加成，实空间中，含有各个分辨率信息的，完整的一张图。

好的，那么到这里，接下来只需要解释这样一个问题：为什么傅里叶频谱图中一个特定半径的圆环，或者说，一个特定频率的圆环，就对应于一张特定分辨率的图呢？ 我们就从最最基本的数学公式开始。

我们先看一维的傅里叶变换这是一个cosx曲线：

这是一个cos2x曲线：

把它们放在一起，相加，就得到了一个周期为2pi，一个周期内由有两个极大值的新的波形图。

这是一个cos(2x-pi/4)曲线，和一个cos(2x+pi/4)曲线：

相加就得到了一个周期为2pi的新波形图。

同理，cosx+cos2x-2cos3x就得到一个有点复杂的，周期为2pi的新波形图。

那么。这是余弦波的叠加,也就是说,由不同频率的余弦波,我们可以叠加出不同的波形。反过来，已知一个形状像这样的波形：

我们用算法可以把它唯一的分解为cosx和cos2x的和。

那么我们如果用频率分量来表示这个波，横坐标为频率（实际上应该是角频率，但是它与频率成2pi倍关系，所以变量关系是完全一样的），纵坐标为强度，就可以把它简单地表示为由频率为1，强度为1，和频率为2，强度为1的两个分量构成。

我们还得顾及它的相位，不过这里刚好两个频率分量的相位都为0。

同样地，已知下面这样一个波形，我们可以把它分解成三个cos波分量，对应的频谱图就是频率为1，2处强度为1，频率3处强度为-2的竖线图。相位谱也恒为零。

再，已知这样一个波形，我们可以把它分解为cos(x-pi/4)和cos(2x+pi/4)的和：

用频率分量来表示，就是频率为1强度为1，频率为2强度为1两个分量；相位谱即频率为1的分量相位为pi/4，频率为-1的分量相位为-pi/4。

实际上，频率分量谱线，就称作一张图的一般意义上的傅里叶变换频谱图对一个函数做傅里叶变换，可以得到一个强度谱和一个相位谱我们一般不太关注相位谱，而直接用强度谱来代表一个傅里叶变换得到的结果但不要忘了严格意义上的傅里叶变换是包括频率和强度两条谱线的，只是我们一般不太关注相位谱，而直接用强度谱来代表一个傅里叶变换得到的结果。

对于任意复杂的波形，我们都可以找到它是由哪些组分组成的。

实际上，我们从数学上可以证明这样一个定理：任意一个周期函数，都可以把它看成是由若干个分立的cos波构成的，这些cos波的频率不同，相位不同即任何周期函数，都可以表示为傅里叶空间中一些离散的竖线。

意思就是说,我们只要对不同的余弦波进行组合,就可以组合出来任意一种周期函数对应的傅里叶级数公式如下，为了让公式好看，我们用数学方法把函数的周期都替换为2pi

对应系数由下式计算。

那么，对于非周期函数，它还能不能拆解成cos波呢？ 是可以的。但是它对应的频谱图不再是离散的，而是连续的，它需要无数个cos波来表示。就比如这个矩形函数：

它的傅里叶频谱图是连续的，它含有cosx，cos0.1x，cos0.001x，它含有从0~∞所有的频率分量。

用公式来表示，就是f(x)=∫a(w)cos (wx)dw，对各个w值求积分。对应于教科书上的标准写法：

这两个式子是等价的，只不过后者用欧拉公式把三角函数写成了e的复指数形式。 对应参数可由下式计算：

到这里为止，我们讨论了一维的傅里叶变换，傅里叶变换的本质，就是把一个波的频率成分写出来总结一下：对于一个一维函数，如果是周期函数，它的傅里叶变换就是分立的竖线，如果是非周期函数，就是连续的曲线图。

了解完了一维的傅里叶变换，那么二维的傅里叶变换是什么含义呢？ 二维空间中的cos波，就是一个平面波，类似于一张纸，对它做波浪形弯折。

这个波，表示在图像中，用图像的亮度来表示z轴的值的大小，那么就是这样一个黑白条纹。

这个平面波，我们怎么用频率分量来表示它呢？我们需要一个二维的坐标系二维波可以沿不同方向传播，沿x轴，沿y轴，或者沿与x/y轴有一定夹角斜着传播所以我们需要用一个二维坐标系来表示它我们把这个二维的坐标系,称为傅里叶空间。

这个波,表示在二维傅里叶空间中，就是一个fx为4，fy为0的点

而这个点，就表示频率大小为4，沿x方向传播的平面波。 下面这个点，就表示频率大小为4，沿y方向传播的平面波

下面这个与原点距离为4，夹角为45°的点，就代表沿与x轴夹角45°方向，频率大小为4的平面波。

点的亮度表示波的幅度，也就是波振动的剧烈程度。一个强度为1/2的波，它对比度就小一些，点的亮度也低一些。

二维波的相位，则表示波的起点位置。

同样地，相位谱也需要用一个二维坐标系表示。

下面，我们来看一看二维波的叠加效果。这是一个波，两个波，三个波，16个波，16个相同频率，不同方向的波。

可以看到，它所能表示的最精细的特征，是有上限的，频率为8的一组不同方向的波，它们最多只能表示一个8*8的大小的格子。所以，傅里叶空间的一个圆环，最终就构成了图片某一分辨率的图层。

当然，要完整地还原这个图层,还需要把相位谱也考虑进来。所有分辨率的图层加起来，再结合相位谱进行还原，就得到了一张完整的图。

所以,我们从内圈到外圈,也就是从低分辨到高分辨,一层一层叠加起来,再结合这个图的相位谱,做傅里叶逆变换,就得到了原图。

同样地,原图做傅里叶变换,也是同时得到幅度谱和相位谱两个谱图.只不过我们一般不太关注相位谱,往往就用幅度谱来指代一张图傅里叶变换的结果。

下面我想提问大家一个思考题：一张图，假设是250像素*250像素的，那么它对应的频谱图的最大频率，是多少？可以说出理由吗？

对的是250，也就是，最高频的波在一个边长的距离内传播了250个周期，即一个像素里含有它一个波长这张图的Nyquist 频率就是250因此，图像的像素个数，决定一个图像的最高频率

用图像的二维离散傅里叶变换公式可以证明Nyquist frequency一张M*N的图像，可以表示为fx从0~M,fy从0~N的余弦波之和也就是，它沿x方向频率最多是M，沿y方向频率最多是N。

等价的复数形式（教科书上的写法）

各系数的计算公式如下。

好那么进入到实际应用中来，FFT，是指fast fourier transform，主要在收数据时用来，实时查看所拍摄图片的傅里叶频谱图比如这张颗粒图，它对应的的FFT图，即傅里叶频谱图

为什么它的频谱图是明暗交替的条纹状的，而刚才的人像图没有这种条纹？这就是因为CTF导致的正是电镜成像的特殊性，与普通摄像机的拍摄过程不一样 低通滤波，也是在pick颗粒时经常用到的一个算法，其实就是保留了频谱的内层圆环，保留下低于某个分辨率的部分，比如对这张颗粒图做低通滤波，再做傅里叶逆变换，就可以发现颗粒轮廓更清楚了。

因为颗粒轮廓是属于低分辨信息，颗粒的细节属于高分辨信息，我们在挑颗粒时是不需要的我们一般在低通滤波后做autopicking，2D，initial refine 同理，高通滤波就是提取出高于某个分辨率的分辨的信息。

傅里叶逆变换得高通滤波后的源图像：

拍摄的图片的噪声，噪点往往很小，所以它属于高分辨信息，而不是低分辨，所以要做低通滤波才能去掉噪声。 以上，就是图像处理中傅里叶变换的简要讲解。