终于，有人能讲明白傅里叶变换了_一文看懂傅里叶变换

1.深入浅出的讲解傅里叶变换(真正的通俗易懂)

一、傅里叶变换：著名学科劝退师傅里叶变换，一度被推上了玄学的位置这位说，了解了它，能改变你，认识世界的方式那个说，我喜欢信号系统，但是看了2周的傅里叶变换，放弃了也有很多人，写了科普教程，有零基础教程、保证看懂教程、掐死教程。

2.轻松理解傅里叶变换

但是，当他们亮出数学公式的那一刻，很多人陷入沉思：我……是从哪里开始，就已经看不懂了……这些现象，激发了我强烈的表演欲望，我要登上舞台，为大家表演我的表演，如果你看不懂，请掐死我二、写博客：傅里叶变换进行时。

3.深入浅出讲解傅里叶变换

我正写博客，此时正是深夜，我屋内的电脑，发出“嗡嗡”的散热声。同时，窗外的马路，飞驰而过一辆渣土车，发出“嘀~”一声刺耳的鸣笛。我，是如何，听到，声音的。

4.傅里叶变换是什么意思

物体振动发出的声音，在空气中传播，进入我的耳朵，推动我的耳膜，声音大就推得强，声音小就推的弱，经过一系列处理，我就听到了电脑和汽车。

5.傅里叶变换通俗易懂

仔细想一下，有点奇怪，我居然根据耳膜被推动的情况，分析出了声音里，包含电脑散热风扇和汽车喇叭两种物体其实除此之外，我还听到了楼上放电视、窗外的虫子叫、电动车报警器响了……这个声音发出和接收的场景，就如同你用手指在桌子上有规律、有轻重地敲击。

6.傅里叶变换 百度百科

我相信，你能听出这番敲击是打快板，那番敲击是非洲鼓但是，你很难通过敲桌子的节奏，听出来：你的同事在敲键盘，同时路上响起了救护车的声音先给你3分钟的时间思考一下，我去上个厕所先人类几万年的历史，不知道是否有人想过这个问题，拿根棍子捅你的耳膜，你就能分辨出十几样不同的发声物体，这到底该怎么来解释呢？。

7.傅里叶变换是啥

其实，这——就是傅里叶变换（我能让你猜着，这突然地转场？）。如下图所示：推动你耳膜的力度就是左侧的波形，你的大脑经过傅里叶变换，分析出了十几种不同的发声物体。

8.傅里叶变换的原理和作用

好了，现在拿出傅里叶变换的定义：傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合定义看不懂没关系，只要能看懂前面说的，分辨声音的那个例就行关于什么是傅里叶，此处打个标记叫[A]。

9.轻松理解傅里叶变换系列

如果你看不懂，就说从[A]开始就糊涂了，来掐我时，好让我死得明白但是，有一点谈资我们要知道，这个理论是法国人傅里叶在1807年提出来的那时，嘉庆皇帝刚抄了和珅的家没过几年三、描述一个波：都有独特的气质你糊弄我？你拿人这种有灵性的生物，来举数学的例子，数学公式能解决道德问题吗？

10.傅里叶变换详解

再说，声音混在一起，就如同染料混在一个缸里，你还能分出来？我就不信了！我感觉有人跟我对话，充满了质疑和不屑。那好，我换一个例子，收音机大家都知道吧。全国几百家广播台，各家都往外发送无线电波。

我们并非生活在多个平行宇宙。因此，这些电波没有VIP通道，肯定都是混在一起在空中传播的。就像下面这样：

那……收音机，可以收听指定电台的节目这个是机器，它的收音设备，没有你的耳朵那么复杂，也没有神经元，这一点儿灵性也没有，但它是可以分解指定波段的好了，继续看我表演，说一下声音的两个属性：频率、振幅3.1 声音的频率

声音是由振动产生的，振动一般都是……就……就像这样：

一个点围绕着某个相对固定的中心，周期性地移动。比如，一个弹簧吊着一个小球，上下振动。

如果，一边记录时间，一边记录位置，其实它的形状就是弦曲线（我保证这个词，已是本文最专业的术语），也可以叫波有些物体振动得快，1秒钟反复来回1000次有些物体振动的慢，1秒钟才往返1个周期这个单位时间内振动一个周期的次数，我们就叫。

频率。因为材质不同，不同的物体振动的频率是不一样，波形也不一样。下面是物理课上，敲击音叉振动的声波。

下面是用嘴吹试管的声波。

只要我们听到的声音不一样，基本上它们声波的频率也是不一样的。就算都是口琴，低音区是这样的：

高音区是这样的：

我们发现，高音区比较密集，相同单位内振动的次数更多，也就是频率大反之，低音区频率小，比较稀疏你听到的每种不同类型声音，都有自己固定的频率，就像每个地方菜的口味一样，是有差别的此处打个标记叫[B]，如果你看不懂，就说从[B]开始，就乱了，来告诉我。

3.2 声音的振幅声音的振幅就是声音的大小大小和频率没有任何关系频率是某个时间内，推了耳膜多少次振幅是这次推动，花了多少力气还是拿音叉举例子，声音的振幅只影响音量，波形、频率都不变你敲出原子弹爆炸的音量，它也是那个形状。

声音大时，音叉的波形：

声音小时，音叉的波形：

这很好理解，不管我小声说话，还是大声说话，你都能听出是我但是，我大声说话，你会震得耳朵疼（耳膜遭受一记重拳）再来点儿谈资吧我们人类能听到的频率范围是20Hz(1秒钟振动20个周期)到20000Hz超过20000Hz为超声波，低于20Hz为次声波。

我们常说，蝙蝠发出的超声波，不是因为它声音太小或太大，导致我们听不见其实是因为它振动得太快，蝙蝠已经说了5000字了，但是我们只收到一个“的”这是没有意义的同样，我们人类能发出的声音频率也是有范围的，范围在250Hz-4000Hz之间，这是由我们人类声带的肉质（额……不知道为啥突然出来这个词）决定的。

振幅和频率的区别，此处打个标记叫[C]如果你了解了，频率和振幅这两个波的属性，后面就好说了四、说傅里叶变换吧：我不抗拒了！傅里叶发现，这个世界上的人，对事物的理解不透彻，描述的也不科学世人都以时间为轴线，来描述事物。

比如，描述一段1分钟的录音：第1秒说了什么，第2秒说了什么……世人摇摇头，叹了口气：傅里叶，你想咋着？4.1 时域傅里叶说，以时间作为参考的描述，叫时域分析比如下面这图，这是个时域图我们看到这1秒内，它很忙，来来回回，从0到1秒跑着，从-1跑到1，反复了5次。

所以，这段波的频率是5，最大振幅是1整图描述的是，每一个时刻的信号值：

如果这段波，不是1秒，而是1个小时，那么它就是3600个这样的图拼在一起时域的概念，打个标记叫[D]不懂的话，就看看表，再看看路上的汽车，刚才在你左边，1分钟后到了你的右边2分钟后，它还在原地等红绿灯，每个时间都有对应的位置。

这也是我们普通人认识世界的方式4.2 频域还是那段波，而如果用频域来描述，那就是这样的：

横坐标表示频率，纵坐标表示振幅上面这个图表示：这里面有一段波，频率为5，振幅为1傅里叶告诉世人，我这个频域，可以抵得过时域的千年万年两者说的是同一件事，只是分析的角度和描述手段不一样呵呵哈……哈呵呵，傅里叶冷笑着离开了，他连笑，都带着波形。

频域，打个标记叫[E]4.3 波的合成和分解世界上的波，不会是上面说的那么单纯，实际上是很复杂的波，根据固定的频率振动，原本很单纯只是，大家都在同一个空间内振动，相互之间发生了抵消和促进，相互融合，进行叠加，导致它很复杂。

波的叠加，打个标记叫[F]不明白的话，赶紧评论区输入[F]，让我知道，我会加强细节描述既然能叠加，那么能拆解吗？其实，是可以的不只是听觉，人类的味觉也做到了，你吃一口菜，可以尝出来里面有糖，有醋，有辣椒。

它的理论基础就是，味觉具有一定的标准，辣就是辣，混到哪里都是辣波也一样，大家都是振动，震动就是弦曲线，只是频率不一样。我们可以通过转啊转，各种组合，你护拢我，我护拢你，总能拼起来。

规律的波，并非一定得是“U”形，下面这几种情况，也都是规律的波形。

甚至，下面这个形状，也是规律的波形。可以拆解为若干组波的叠加。

二维空间里没有规律，就去从三维空间里面找即便实在无法分解，我们也可以认为它的周期无限长，我有规律，只是本次循环还没到头呢？着啥急！波的分解，不用明白具体是怎么分的知道能分就行，打个标记叫[G]4.4 时域拆解频域。

一段复杂的波，可以分解成，多段，规律的单纯波的集合。

然后，对这些规律的波从频域进行描述，就有了整段波的谱线图下图是一个综述f指的是频率维度这张图，很清晰地说明了波形、时域和频域的关系很多教程，开局就拿出这张图，可解万难但是，我说了这么久，才敢亮出来

此图打个标记叫[H]，还不明白来掐我。4.5 频域复原时域根据频域，也能复原成时域（此处用理想波，便于理解概念，还有相位等问题，不敢具体展开了）。

上面图里绿色的频率和振幅，可以描述一个波如果把谱线上描述的波，依次画出来，然后做叠加这样就复原了时域的波形这个过程就像是泡发木耳波的复原，打个标记叫[I]，有疑问请评论（别的平台复制本文可能不回复，但是掘金TF男孩一定给你回复，且回复的比你问的还要多）。

五、傅里叶变换有什么用？傅里叶变换，在生物领域，你已经享受到它的益处了，你能分辨出一段声音里不同的声源，一口食物里不同的味道除此之外，我们可以拿时域转频域，对频域的特征进行二次加工，然后再恢复成时域，以此来做文章。

比如那些演唱会上调节声卡的人，如果你高音不足，可以给你升上去，低音太高，可以给你降下来举个例子，比如变声软件把一段音频，分离出男声和女声，将男声改为女声的频率，然后还原回去，实现男声变女声再比如，声音压缩。

将一些低频波形，合成一条如下图蓝色线条，可以替代其下方的其他多条波形，而又不会影响人们的听觉判断，以此实现了数据的压缩

除了在音频和信号的应用之外，在视觉上也有广泛应用，比如轮廓提取、美颜磨皮等等。甚至，我还有一个想法，研发一款不会颠簸的汽车：

应用部分，如需讨论，打个标记叫[J]六、代码实践如果，你已掌握了上面说的傅里叶变换那么，下面，我们就要实践一下了实践的目的在于应用，表示我们已经可以利用代码，进行傅里叶变换了这可以加深理解，并储备知识以下代码，采用python语言演示。

6.1 生成波形傅里叶变换，是对波形做变换。因此，要变换我们首先得有一段波形。比如这一段音频，这是单词“stop”的声音波形(3个小高峰，s-tɒ-p)：

信息的读取和绘制都很简单：from scipy.io import wavfile import matplotlib.pyplot as plt # 读取音频数据 fs, audio_wave = wavfile.read(

"stop.wav") # 采样率 fs, 音频数据 audio_wave plt.plot(audio_wave) # 绘制音频数据 plt.show() 这样看的不直观，我们选取开头的160个点，

plt.plot(audio_wave[0:160])来绘制这一小段，这样看就是线条的波形了：

从总图看，开头那部分是一马平川但是，当我们放大这部分细节时，我们看到的却是满眼的崎岖和坎坷我们看到上面的wavfile.read函数返回两个值，一个叫采样率，一个叫音频数据声音的读取和波形绘制，此处打个标记叫[K]。

6.1.1 采样率采样率就是采样的频率，描述多长时间记录一次数据。还记得打点计时器吗？

那个在纸上打点的频率，就叫采样率比如，1秒钟打60个点，采样率就是6060的采样率，能记录上信息吗？这得看对方信号有多快如果对方太慢，会导致一个地方频繁打点，其实打一个点和打100个点没有区别，这很浪费。

如果对方太快，可能会记录不全，甚至它跑了好多周期了，我们一个点都采不上。蝙蝠的超声波就是频率太快了，我们的耳膜采样不上。下图是采样率为1000和100时，记录的图：

可见，信号不复杂时，采样率高和超高，没有什么变化，都能记录全了。区别只是，用1万个点来描述，还是用100个点来描述。下图是采样率为20时，绘制的同一段信号的图：

采样率一旦比信号低(小于信号最高频的2倍)了，有些信息的细节就记录不上了对于录音机，我们说，它是否能把声音的细节记录上，主要看它的采样率高不高关于采样率，此处打个标记叫[L]，你是否get全了呢？为什么要了解这些概念？因为我们要制造声波数据，需要先了解它。

为什么要造数据（这自问自答，我也是不要脸了）？因为我们造的数据，是我们已知的参数，便于我们和求出的结果做对照。要造数据，还需要了解弦函数sin(θ)。

就是横轴上一个点，对应纵轴上一个值，把它们画出来，就是一个波：

6.1.2 绘制波形现在，我们来搞一系列的横纵坐标点importnumpy as np#采样率，单位时间内采集多少次样本（1秒内记录1000次，采样率1kHz）Fs = 1000 #采样周期，频率的倒数，相邻两点的时间间隔，1秒打10个点，采样周期就是0.1秒。

T = 1/Fs #信号长度，信号有多少个点L = 1200 # 时间轴X轴的集合，这批信号每次采集的时间点t = np.arange(L)*T # 幅度值Y轴的集合，1200个点对应的Y轴的值S =

np.sin(2*np.pi*t)上面代码，t是横轴坐标，S是纵轴坐标我们先来看1秒内发生的故事，因为我们设置的是1秒一个周期，其他时间段都是循环的我们的采样率是1000，也就是1秒记录1000个点1秒内，t的值是

[0.000,0.001,0.001,……,1.0],把一个2π（完整周期）分成了1000份对这1000个点求函数的值，也就是S = [0,…0.5,…1,…0,…-0.5,…-1,…,0]如果用代码画出来的话。

importmatplotlib.pyplotaspltplt.plot(t[:1000], S[:1000]) plt.show() 数据就是下图所示：

上面的例子中，1秒进行了一个周期，频率是1。如果，我们要一个频率为5的波形，那又该怎么整呢？很简单，让S = np.sin(2*np.pi*t*5),里面乘以5，再画出来，就是下图这样：

如果想要一个频率为8的波形呢？乘以8就可以了！

关于波形数据的生成和绘制，此处打个标记叫[M]如果大脑过载的话，要及时上报啊下面，我们准备了一组复合波数据，作为测试样本这批样本，其实就是一段频率为5的波，叠加一段频率为20的波其中有点插曲（故意设计的），这个频率为20的波，他的振幅为0.5（频率5的振幅是1），波形是这样的。

两段波相加，混合起来是这样的：S_5 = np.sin(2*np.pi*5*t) S_20 = 0.5*np.sin(2*np.pi*20*t) S_25 = S_5 + S_20

好了，这个就是我们自己造的测试数据下面，我们来做傅里叶变换，看看能不能分析出来它的组成关于波的叠加，此处打个标记叫[N]6.2 傅里叶变换 FFT今天，我们是用傅里叶变换，不是写傅里叶变换所以过程会很简单，简单到就3个字母。

fftpython库scipy.fftpack中有fft，它就是专门处理傅里叶变换的fromscipy.fftpack import fft# 完成傅里叶变换Y = fft(S_25) # 把结果画出来。

p2 = np.abs(Y)p1 = np.abs(Y)[:int(L/2)]# Fs、L是之前生成波形时的采样率和信号长度f = np.arange(int(L/2))*Fs/L plt.plot(f,2*p1/L)

plt.show()采用傅里叶变换，对测试波形进行分析，得出了这个谱线。

从图上我们看出，整段波里，存在2个频率的波形，一个频率为5，振幅为1；另一个频率为20，振幅是0.5（刚才就是按照这个规则造的假数据）这说明，分析的很对此时，我们可以玩耍的就多了比如增大高频的频率，或者把低频的删除，然后再还原为波形，就做到了对声音的增强、提取和调整。

关于谱线，能看懂就行，此处打个标记叫[O]，看不懂来掐我等会……这里面存在一个问题，那就是：这个分析结果，把时间维度给忽略了然而，时间是一个很重要的参考上面演示的是S20和S5叠加的情况如果要是S20追加S5呢？意思就是有先后顺序，就像这样：。

S_20_5 = np.append(S_20, S_5)

这段波形，先是一段小声（振幅小）的高频（频率大），然后是一段大声（振幅大）的低频（频率小）我分析啊，应该先是女生小声嘀咕，然后男生大声呵斥这个时间顺序里面，是包含着故事的波形分析里没有时间维度，就相当于食品说明里，只有组成成分，没有含量占比。

这，没法判断它的口味和营养于是，短时傅里叶变换就出现了。6.3 短时傅里叶变换 STFT本文的毕业考核，就是最终能看懂下面这张图。

不着急，我慢慢说为了加上时间（序列）维度，才有了短时傅里叶其实，它的本质还是傅里叶，只是它从时域信号中，依次选取一段样本，进行傅里叶分析分析完了，再合并起来，这样就有了时间维度了短时傅里叶变换的调用依然很简单，比傅里叶变换多一个字母，它是

stft传入的参数是要分析的波形数据，以及采样频率，返回值是：时间t、频率f、振幅Zfrom scipy.signal import stft # 短时傅里叶变换 f, t, Z = stft(S_20_5, fs=。

1000) # 把结果画出来 z = np.abs(Z) plt.figure(figsize=(10,10)) plt.xlabel("author:handroid@126.com Time(s)"

) plt.ylabel("frequency") plt.ylim(ymin=0, ymax= 30) plt.title("from https://juejin.cn/user/615370768790158"

) c = plt.pcolormesh(t, f, z, cmap =Greens, vmin = 0, vmax = 1) plt.colorbar(c) 由短时傅里叶变换得出数据生成的这个图，叫三维频谱图。

相比于谱线图，它加入了时间维度其中，横坐标是时间维度，这个时间可以不和波形图的时间对应它和上面的fs采样点参数有关纵坐标，则表示波形的频率它虽然是一幅2维图，但可以表示3维的数据他的第三维度就是色块的色值，表示振幅。

色值越亮，振幅越大如何来分析这个图：从纵坐标入手：这段信号，包含2段频率，一段频率是20，另一段频率是5其中20频率段振幅较小，5频率段的振幅较大从横坐标入手：1.2s之前，只有高频信号；1.2s之后，高频消失，出现了低频信号，低频音量较大。

从振幅入手：声音较大（色值较重）的主要出现在后半段，且是低频信号发出，推测是男生发火了关于三维频谱图的解读，此处打个标记叫[P]，看不懂就告诉我好了，试试毕业考试吧，看下面这幅频谱图这是一段音乐，上面两个波形是左右声道，下面火红的颜色是频谱，右侧坐标是音调（频率），比如C调，G5调等。

这段音乐，哪段音域最活跃呢？这个歌手是女高音，还是男低音？七、保命条款朋友们，我讲的很初级，真的，一点都不谦虚没讲相位，没讲函数的每一个参数，能省就省这只是为了科普，让大家知道有这么一个东西，不但要知道，最好能吸收进去一些知识。

学到的知识才是自己的本文的目标读者，就是那些连sin和cos都还给初中数学老师的朋友们他们真的找不到通俗的资料去学习，但是他们又有强烈的求知欲，尽管很多医生……不是，很多研究生，大呼他们已经尽力了我不会再往深里讲了，因为本身我也不太懂。

但是，我相信本文也是能帮到一些人的，尤其本文上传了将近50张图，很多动态图如果有错误，欢迎大家指正，我会做修改，同时这也是我学习的机会如果大家想和我交流，欢迎大家留言，我是掘金社区TF男孩，一位编程表演艺术家，为人民表演编程。

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