机器人基础知识：旋转矩阵-机器人学旋转矩阵

2023-08-27 23:51:17

机器人基础知识：旋转矩阵的总结

自己学习期间的复习总结，知识来源于上课教材“Skript zur Vorlesung Robotik1"，由于水平有限，有错误还望各位及时指出。

本文提纲：

一、(右手系)笛卡尔坐标，向量的表达

二、旋转矩阵（含部分推导）

三、Kardan-角，Gimbal-lock问题，Euler-角，RPY-角

四、总结

关于旋转矩阵，我们首先要明确几个点：

被旋转的是什么？（向量）旋转后我们得到的“被旋转”体什么变了，什么没变？（向量本身没变，变得是向量在不同坐标系下的表达方式）如何进行旋转？有几种旋转的运算/表达方式。

（使用旋转矩阵进行旋转结果的计算，有欧拉角，四元数等多种表达方式）

在回答上述问题前，我们要先看一下一些基本点，例如：坐标系统、向量等，在机器人学中我们一般使用3维几何空间的坐标系统，坐标系统一般我们会用（右手系）笛卡尔坐标，如图：

一、(右手系)笛卡尔坐标，向量的表达

右手系的笛卡尔坐标具有以下性质：

它的基向量：

这些基向量的模长：

这些基向量两两之间垂直：

基于右手系的基底单位向量：

然后我们假设有2个坐标系，分别为坐标系(KS)0，（KS)B，KS表示Koordiantensystem，也就是坐标系统。则在(KS)0中的一个向量设为（此向量为从(KS)0原点到(KS)B原点的向量）：

设一个点P到(KS)B原点的向量在(KS)B中表示为：

由于每个向量的坐标可以表示为向量在此坐标系中的xyz值和此坐标系的基底向量的点乘，故我们可以将这个向量写成这样的形式：

接下来我们要看一下向量的问题，首先向量是一种可以在空间中随意平移的一个量，因此在实际应用中我们要考虑一个机构的运动，不但需要向量表达方向和长度，还需要一个位置信息来确定机构之间的位置关系，但在此我们先不考虑这个位置的定位问题，只考虑旋转带来的变换，我们假设我们需要转的坐标系的原点没有发生平移，也就是仅围绕原点在旋转，那么我们可以将向量rBP写成：

此时R即为旋转矩阵。

二、旋转矩阵：

一个R旋转矩阵描述从(KS)B到(KS)0可以表示为：

这些旋转矩阵具有以下性质：

由于通过旋转矩阵是正交的，故：

旋转矩阵的基底向量是互相垂直的：

基底向量是右手系坐标系：

单位旋转矩阵：

所谓单位旋转矩阵，就是指每次旋转只绕一个轴旋转一个角度（以下例子都是基于顺时针旋转）：

【此处的旋转矩阵表达的都是从红色到黑色坐标系】

组合旋转

组合旋转就是不再是绕单一轴旋转了，是一个复合的旋转，但分解开来就是多个单位旋转的组成。（此时需要注意，R1R2不等于R2R1，也就是先旋转和后旋转的作用不同，如下图所示）

描述复合旋转有多种方式，例如Kardan-，Euler-，以及RPY-Winkel等。

这些旋转的表示方式也有一些不同，在此分为右乘类，和左乘类：

右乘类：

也就是计算旋转矩阵时，从左向右做矩阵乘法，描述的旋转是基于上一次旋转后（也就是当下）坐标的再次旋转。

左乘类：

也就是计算旋转矩阵时，从右向左做矩阵乘法，描述的旋转是基于最初那个“固定”坐标系的。

三、下面我们分开说明一下多种复合旋转矩阵：

Kardan-Winkel（Kardan角）：

它的表达方式是基于右乘的，也就是每次单位旋转基于当前坐标，表达如下：

123表示旋转顺序，先1后2再3。

Gimbal-lock 问题：（对于右乘的旋转）

Gimbal-lock问题是指一种现象，这种现象是：当两个旋转轴重合时（此时产生的结果角度相当于旋转两次的结果，而实际上进行了三次旋转，也就是损失了一个自由度），在反向问题时（在机器人运动学中，从q：运动角度到x：点的位置是正向问题，反之从x到q是反向问题；在此处为从角度得到旋转矩阵为正，从旋转矩阵得到角度为反）会得到一个无穷解，因为此时相当于有一个方程，但有两个未知数。也就是这个结果可以只通过两个旋转轴的旋转就可以得到，但现在用了3次旋转，也就是损失了一个自由度（此时也是Singulare 情况，在矩阵上表达就是矩阵丧失了一个列或行）