高等代数学乱想——旋转矩阵-旋转矩阵怎么理解

记得大二的时候数学建模比赛如火如荼，在学习生活中不可避免会遇到一个东西叫做旋转矩阵（具体学名是啥不记得了）。

简单来说，在二维平面上，绕原点旋转θ角度，新的坐标和老坐标可以通过什么样的矩阵进行联系。

我们通过简单推导可以知道这个矩阵是： (cosθ−sinθsinθcosθ)\left( \begin{array}{ccc} cos θ & -sin θ \\ sin θ & cos θ \\ \end{array} \right) ，那如果用高代的思想，怎么得到呢？

一.前提

设V是Descartes平面， ，，，{(1，0)，(0，1)}\left\{ \left( 1，0 \right) ， \left( 0，1\right) \right\} 为基，求绕原点旋转θ角度的旋转在这组基下的表示矩阵。

二.求解

绕原点转动 θ 角的旋转 ：φ：V→V,(x,y)↦(xcosθ−ysinθ,xsinθ+ycosθ) φ：V\rightarrow V,(x, y) \mapsto (x cos\ θ−y sin\ θ, x sin\ θ+y cos\ θ)

注意：元素的映射要加小竖线这里不会打。

对于基 {e1,e2}={(1,0),(0,1)}\left\{ e1,e2\right\} = \left\{ \left( 1,0 \right) ,\left( 0,1\right) \right\} ,则

φ(e1)=(cosθ,sinθ),φ(e2)=(−sinθ,cosθ),φ(e1) = (cos\ θ,sin\ θ),φ(e2) = (-sin\ θ,cos\ θ),

注意：此为变换，映射结果仍可以由V中的基表出。

用基表出映射结果如右： {φ(e1)=cosθe1+sinθe2φ(e2)=−sinθe1+cosθe2 \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} φ(e1) = cosθ\ e1+sinθ\ e2\\ φ(e2) = -sin\ θ\ e1+cos\ θ\ e2\\ \end{aligned} \right. \end{equation}

根据线性映射与矩阵的知识，我们知道这里的表示矩阵是：

(cosθ−sinθsinθcosθ)\left( \begin{array}{ccc} cos θ & -sin θ \\ sin θ & cos θ \\ \end{array} \right)

也就是所谓的旋转矩阵。