对高考的碎碎念&等差乘等比数列求和公式推导

 文末写了一段自己对高考的碎碎念, 宣泄了很多情绪, 回过神来才发现写的有点多, 反而成了本文主要内容了 (

前言

对于等差乘等比型数列的求和问题, 我之前一直没发现这种最直接的求和方法. 身边的人只提过错位相减, 裂项相消, 待定系数之类的方法. 现在读大一了，在一道课后题里发现了这种求法, 而且只涉及到高中的知识, 在这里分享一下.

推导

对于“等差乘等比”型数列 an=(an+b)qna_n=(an+b)q^n , 记其前n项和为 SnS_n , 则:

Sn=∑k=1n(an+b)qn=a∑k=1nnqn+b∑k=1nqn=aq∑k=1nnqn−1+b∑k=1nqn=aq∑k=1n(qn)′+b∑k=1nqn=aq(∑k=1nqn)′+b∑k=1nqn=aq(q−qn+11−q)′+bq−qn+11−q=aq1+(nq−n−1)qn(1−q)2+bq−qn+11−q\begin{align*} S_n&=\sum_{k=1}^{n}{(an+b)q^n}\\&=a\sum_{k=1}^{n}{nq^n}+b\sum_{k=1}^{n}{q^n}\\&=aq\sum_{k=1}^{n}{nq^{n-1}}+b\sum_{k=1}^{n}{q^n}\\&=aq\sum_{k=1}^{n}{(q^n)^{}}+b\sum_{k=1}^{n}{q^n}\\&=aq(\sum_{k=1}^{n}{q^n})^{}+b\sum_{k=1}^{n}{q^n}\space\\&=aq(\frac{q-q^{n+1}}{1-q})^{}+b\space \frac{q-q^{n+1}}{1-q}\\&=aq\frac{1+(nq-n-1)q^n}{(1-q)^2}+b \frac{q-q^{n+1}}{1-q}\end{align*}

中间利用凑导数, 得到了可以直接求和的形式.

拿去年高考题举个例子.

题目

(2021·新高考全国Ⅰ 16)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折. 规格为 20dm×12dm20dm\times12dm 的长方形纸, 对折1次共可以得到 10dm×12dm10dm\times12dm , 20dm×6dm20dm\times6dm 两种规格的图形,它们的面积之和 S1=240dm2S_1=240dm^2 , 对折2次共可以得到 5dm×12dm5dm\times12dm , 10dm×6dm10dm\times6dm , 20dm×3dm20dm\times3dm 三种规格的图形,它们的面积之和 S2=180dm2S_2=180dm^2 ,以此类推. 则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为____; 如果对折n次, 那么 ∑k=1nSk=\sum_{k=1}^{n}{S_k}= ___.

解答

选填题直接列举一下前几个情况, 找规律, 可以知道对折 nn 次可以得到 (n+1)(n+1) 个图形. 那么第一个空就是5.

图形总面积等于各图形面积乘图形个数, 得:

Sn=12×20×(12)n×(n+1)=240(n+1)(12)n.S_n=12\times20\times(\frac{1}{2})^n\times(n+1)=240(n+1)(\frac{1}{2})^n.

代入刚才推出的求和公式, 得:

∑k=1nSk=240×[(1×12)1+(12n−n−1)(12)n(1−12)2+12−(12)n+11−12)]=240×[−(n+3)(12)n+3].\begin{align*}\sum_{k=1}^{n}{S_k}&=240\times[(1\times\frac{1}{2})\frac{1+(\frac{1}{2}n-n-1)(\frac{1}{2})^n}{(1-\frac{1}{2})^2}+ \frac{\frac{1}{2}-(\frac{1}{2})^{n+1}}{1-\frac{1}{2}})]\\&=240\times[-(n+3)(\frac{1}{2})^n+3].\end{align*}

如果你能记住待定系数法公式的话, 建议使用那种方法. 如果你不乐意记, 建议用这篇文章的方法现场推导公式, 应该还是很快的.

错位相减的方法浪费时间且容易出错, 早该退环境了.

对高考的碎碎念

有很多和我一样在落后高中就读的学生, 生源差, 信息闭塞, 教学水平低. 如果在高考大省, 竞争更是惨烈.

就拿这次的数列求和题举例吧, 高中三年, 我的数学老师从未提过除了错位相减以外的任何方法.

再以极值点偏移为例, 我的老师从未讲过任何一道极值点偏移的题目, 每次遇到这种题, 他就会说一句 "有兴趣的同学自己去研究吧". 结果去年就考了, 我的很多同学只能对着题目干瞪眼.

他只会教最基础最基础的东西, 稍微难一点, 或者稍微需要那么一点点技巧, 他就不教了. 高一高二的时候他反复向我们说, "基础很重要, 一定要打好基础." 等到了高三, 他接着说"这个时候了, 你们更要重视基础." 结果高中三年, 除了基础, 他还真就什么都没教.[1]

这还是我们学校最好的尖子班.

这合理吗?

而在封闭式管理的学校, 学生除了老师没有任何外部信息渠道, 于是便相信了老师, 在心里默念"只要我上课认真听讲, 好好听老师的话, 我高考就能胜利辣!" 然后听老师念了三年古董ppt, 上了新高考改革的战场.

再拿物化生举例, 别的省不知道, 就说说山东.

现在高考改革, 山东的物化生重回自主命题, 难度飙升.

去年山东生物高考的原始平均分只有29.几, 你不敢信吧?[2]

现在山东的物理卷绝对是全国最难, 没人反驳吧?[3]

化学内容已经几乎脱离课本了,当然新高考省份的化学都差不多.

新山东卷已经不仅仅是曾经那种计算量大的模式了, 现在的思维难度直接飞跃了一个维度.

所以如果你投胎不好, 生到了一个高考巨烂的市或县, 你只能靠自己. 而自救的方法就是靠网络.[4] 学习规划, 复习方法, 教辅推荐, 老师不讲但你需要的东西, 网上都有.[5] 知乎上丰富的经验分享和学习资源, 简直就是天赐.

高三我直接没听过课, 上课老师讲老师的, 我学我的; 他布置他的作业, 我做我买的教辅. 结果高三反而是我学的最快乐的一年.

最后我的高考成绩是县区第一[6].

我的高考成绩一半都是网络给的. 我真的从网上学到了太多的东西,比如知乎里的奕铭老师, Yuanqi Li学长, Alston学长, 幻夜梦屿学长[7]... 没有他们写下的文字, 我可能也就只能去山大吧[8].

所以我也想开始在网上写点东西, 哪怕只能帮到一个像我一样的学弟学妹, 我也觉得很值得. 他们本应进入更好的高校.

参考

^甚至没怎么提过求和符号, 全给我们换成给加号和省略号了^我的生物老师参与了去年的高考阅卷, 她说的^不信的话就去尝试一下吧~现在的物理卷大变样了哦^如果你很有钱, 请个7*24小时一对一家教也不错^但是要注意辨别, 最近网上割高中生韭菜的人越来越多^虽然我们区只有两个高中. 题外话, 现在山东禁止跨区招生了^他们现在都不怎么活跃了...^没有黑山大的意思, 如果没有山大的话, 山东的考生会更苦 (