2004年高考数学压轴题，难度大，放缩法难住不少同学

大家好！本文和大家分享一道2004年高考全国III卷理科数学压轴题。2004年高考全国卷共有4套试卷，其中当年使用3卷的省份为内蒙古、海南、西藏、陕西、广西等，与当前使用3卷的省份并不相同。接下来我们一起来看一下这道压轴题。

题目见上图。本题考查的是数列的通项公式及放缩法，难度还是比较大，也难住了不少的同学。

先看第一问。这一问比较简单，题目已经告诉了数列前n项和与an的关系，要求a1、a2、a3只需要取不同的n的值即可。如当n=1时，S1=a1，代入后即可求出a1的值；当n=2时，S2=a1+a2，代入题干中的关系式，可求出a2的值。

再看第二问，求数列的通项公式。

已知数列前n项和Sn与an的关系，那么可以利用an=Sn-S(n-1)的关系消去Sn，这样就得到了数列相邻两项之间的关系。如本题中消去Sn后得到：a(n+1)=2an+(-1)^n。

得到数列相邻两项的关系后，先观察两项的系数，系数不同时常构造新的等比数列。

令a(n+1)+(-1)^(n+1)=2[an+(-1)^n]，化简后得到：a(n+1)=2an+3(-1)^n。接着与前面的式子比较，即可得到的值，再将代入设出的式子，即可得到一个新的等比数列。当然，这个过程可以不写入解题过程中，只用结论就可以。

另外，在构造新数列时，要注意等号前后形式保持一致。

构造出新的等比数列后，利用等比数列通项公式求出新数列的通项公式，从而进一步求出数列an的通项公式。

需要注意的是，在解题过程中如果出现了n-1这样的形式，那么就要有n2的限制条件，这也是很多同学容易忘记的一点。为了避免出现这样的情况，可以用a(n+1)和an之间的关系，此时就不需要有n2的限制条件了。

最后看第三问，考查放缩法。

这一问难度大，合适的放缩是难点所在。先将an的通项公式代入表示出所要求的代数式，然后先化简，再放缩。

化简后得到的是m-3个分数和的形式，结合题目中“＜”的结论，也就是说可以将分数的分母缩小，从而让分数的值变大，所以可以考虑将分母中的11放缩为10、21放缩为20等，这样就可以构成一个等比数列，然后用等比数列求和公式求和。

求和后再进行放缩，即进行适当的放大，从而得到题目中的数值。

放缩法对很多同学来说都是一个难点，关键在于很难找到合适的放缩程度，容易出现过度放缩或放缩不到位的情况，所以很多同学遇到放缩法都丢了分。不过，现在全国卷考查放缩法的题并不多，这对不少同学来说都是个好消息。当然，对于学有余力的同学来说，放缩法还是必须要掌握的。