数学概念和应用之集合映射在现代文明中的基本原理和重要性（集合与映射的教学视频）

 

相当大的一部分数学从根本上讲是关于关系的。数学家花费大量时间试图找到数字、数字集合、数字集合、圆、三角形、无穷大之间的关系，并且这个列表还在继续。

让我们研究一种特别有用的关系类型：映射。集合映射是一种非常有用的关系类型，用于数学的各个领域，包括代数、几何、拓扑和分析。尽管术语可能有些吓人，但一旦您理解了这些概念，它们实际上就非常简单明了。了解映射很重要，因为它直接或间接地用于从财务分析到预测某天哪些杂货将缺货的各个方面。

然而，在我们开始讨论它们的实际应用之前，需要了解一些事情，所以让我们开始吧！

Set Mapping到底是什么？

在数学中，集合是不同对象的集合。集合映射是一个帮助我们将一个集合的元素与另一个集合的元素相关联的概念。因此，地图（在数学上）实际上只是函数。

从中获取元素的集合称为域，将元素分配到的集合称为范围。该映射用 f(x) 表示，可以表示为 f: A → B，其中 A 是定义域，B 是范围。

示例#1

例如，考虑集合 A = {1, 2, 3} 和 B = {a, b, c}。我们可以定义一个映射 f：A → B，其中 f(1) = a，f(2) = b，f(3) = c。请注意，A 的每个元素都映射到 B 的唯一元素。我们可以将此映射表示如下：

f(1) → 一个

f(2) → b

f(3) → c

我们还可以将此映射表示为一组有序对：

{(1, a), (2, b), (3, c)}

请记住：在映射中，域中的每个元素都必须恰好分配给范围中的一个元素。{(1,a), (1,b), (3, c)} 不是有效地图。因此，如果域中有两个元素 x 和 y，且 x ≠ y，则 f(x) ≠ f(y)。

函数的形象

在查看数学中的各种类型的映射之前，让我们了解讨论函数的“图像”时的含义。现在，函数的图像经常被互换地用作“范围”，但实际上并不总是如此。

函数的图像是一个集合。该集合包含地图可能产生的所有输出值。

基本上就是这样。为了简化事情，你可以这样想。

设 f: X → Y 且 x ∈ X。

那么 x 在 f 下的像就是 f(X) = {f(x) : x ∈ X}。如果其中任何一个令人困惑，您可以将图像视为范围（暂时）。

单射、满射和双射映射

本文将介绍三种类型的映射：单射、满射和双射映射。

单射映射是域的每个元素映射到范围的唯一元素的映射。换句话说，域中没有两个元素映射到范围中的相同元素。

这意味着如果 f(x) = f(y)，则 x = y。

或者，如果 x1 ≠ x2，则 f(x1) ≠ f(x2)

单射映射也称为一对一映射。

满射映射是这样一种映射，其中范围的每个元素都是域中至少一个元素的映像。换句话说，对于范围中的每个元素 y，定义域中都存在一个元素 x，使得 f(x) = y。满射映射也称为本体映射。

让我们分解一下这个定义。

令 f：X → Y。

满射映射意味着：

∀ y ∈ Y, ∃ x ∈ X st f(x) = y。（对于陪域 Y 中的所有 y，在域 X 中存在一个 x，使得 f(x) 等于 y）。

这实质上意味着集合 Y 的每个元素都有一个匹配的 x，它通过映射 f 创建它。

满射映射也称为本体映射。

例子#2

考虑集合 A = {1, 2, 3} 和 B = {a, b, c, d}。

我们将定义函数 f：A → B，其中 f(1) = a，f(2) = b 和 f(3) = d。

该映射不是满射的，因为不存在满足 f(x) = c 的元素 x ∈ A。

双射映射是一种既是单射又是满射的映射。换句话说，域中的每个元素都映射到范围中的唯一元素，并且范围中的每个元素恰好是域中一个元素的映像。双射映射也称为一对一对应（请不要将其与一对一函数/映射或单射映射混淆）。

映射的组成

映射组合是将两个映射（函数）组合起来形成一个新映射的方法。设 f: A → B 和 g: B → C 是两个映射。f 和 g 的组合用 g ◦ f 表示，定义如下：

(g ◦ f)(x) = g(f(x))

换句话说，f 和 g 的组合将 A 的元素 x 映射到 C 的元素，方法是首先将 f 应用于 x，然后将 g 应用于结果。

请注意，g ◦ f 的域是 A 的所有元素的集合，这些元素可以通过 f 和 g 的组合映射到 C 的元素。

例子#3

让我们考虑一个例子来理解映射的组成。考虑集合

A = {1, 2, 3}

B = {a, b, c}

C = {x, y}。

设 f: A → B 是由 f(1) = a、f(2) = b 和 f(3) = c 定义的映射

设 g: B → C 是由 g(a) = x、g(b) = y 和 g(c) = x 定义的映射。

那么，g和f的组合为g◦f：A→C，定义如下：

(g ◦ f)(1) = g(f(1)) = g(a) = x

(g ◦ f)(2) = g(f(2)) = g(b) = y

(g ◦ f)(3) = g(f(3)) = g(c) = x

因此，我们有 g ◦ f: A → C，由 g ◦ f(1) = x、g ◦ f(2) = y 和 g ◦ f(3) = x 定义。

逆映射

逆向映射是一种反转函数/映射方向的方法。令 f: A → B 为双射映射。这意味着它既是一对一的又是一对一的。

那么，存在唯一的映射f^-1：B→A，称为f的逆映射，使得

f(f^-1(x)) = x 对于所有 x ∈ B 和 f^-1(f(x)) = x 对于所有 x ∈ A。

基本上，地图的反转会撤消原始地图的内容。请注意，如果 f 不是双射的，则它可能没有逆映射。

让我们考虑一个例子来理解逆映射的概念。

例子#4

设 A = {1, 2, 3} 和 B = {a, b, c}，并设 f: A → B 是由 f(1) = a、f(2) = b 和 f 定义的双射映射(3) = c。那么，f的逆映射就是f^-1：B→A，定义如下：

f^-1(a) = 1

f^-1(b) = 2

f^-1(c) = 3

让我们测试一下：

f(f^-1(a)) = f(1) = 一个

f^-1(f(1)) = f^-1(a) = 1

我希望这能让事情变得很清楚。

地图的属性

集合映射有几个重要的性质，可用于许多不同的数学领域。一些关键属性如下：

自反：如果 f(a) = a 对于 A 中的所有 a，则称映射 f: A → A 是自反的。换句话说，域的每个元素都通过映射映射到自身。对称：如果每当 f(a) = b，则 f^-1(b) = a，则称映射 f: A → B 是对称的。换句话说，如果域的元素映射到范围的元素，则逆映射将该范围的元素映射回域的元素。传递：如果每当 f(a) = b 且 f(b) = c，则 f(a) = c，则称映射 f: A → B 是传递的。换句话说，如果域的一个元素映射到范围的另一个元素，并且范围的那个元素映射到范围的第三个元素，那么域的原始元素也映射到范围的第三个元素范围。恒等式：集合 A 上的恒等映射是映射 I: A → A，由 I(a) = a 为 A 中的所有 a 定义。换句话说，恒等映射将域的每个元素映射到自身。组合：映射的组合是关联的，这意味着对于映射 f：A → B，g：B → C 和 h：C → D，我们有 h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f。换句话说，我们构建地图的顺序并不重要。集合映射的现代应用

集合映射在数学的各个分支及其他领域都有许多应用。这里有些例子：

图论：集合映射用于对图进行建模和分析，图是顶点和连接顶点对的边的集合。映射可用于表示图的边，映射的属性可提供对图结构的洞察。群论：集合映射用于研究群，群是由一组元素和组合两个元素产生第三个元素的二元运算组成的数学结构。映射可用于表示组动作，这是一组对另一组进行操作的方式。密码学：集合映射用于密码学，即在第三方存在的情况下进行安全通信的实践。集合映射在密钥交换协议中特别有用。计算机科学：集合映射用于计算机科学，特别是在数据库管理和编程语言领域。映射可以用来表示数据库中数据之间的关系，也可以用来定义函数。

集合映射是数学中的一个基本概念，在许多不同的研究领域中起着至关重要的作用。尽管本文涵盖了绝对基础知识，但我希望它能让您更好地了解映射的工作原理、单射性、满射性、双射性、合成和逆映射等。