数学思维系列之应用数学之王，拉普拉斯变换背后的直觉（拉普拉斯变换哪门课）

 

拉普拉斯变换(LT)可以说是应用数学之王。每个工程师、物理学家和数学家都一定在某个时候遇到过拉普拉斯变换。从将微积分转化为代数，到将系统从时间域转化为 s 域，这个数学工具让我们的生活变得更加轻松。但拉普拉斯变换背后的直觉到底是什么？我们如何利用这种直觉来理解它的应用？

傅里叶变换的定义和联系

拉普拉斯变换和傅里叶变换 (FT)是迄今为止所有数学中最流行和最广泛使用的变换。对于还不熟悉傅立叶变换的任何人，我建议您通过单击上面的链接阅读它，因为这将使我们将要说的一切变得容易得多。

函数 x(t) 的拉普拉斯变换由以下积分定义

事实上，只有两点不同。

这一次，我们看到 LT 中的积分从 0 开始，而不是从负无穷大开始。这实际上是一种约定，因为在工程中，我们大部分时间都使用 LT 来研究在时间 t=0 时“打开”的信号。从纯数学的角度来看，我们可以很好地将 LT 定义为从负无穷大到正无穷大。

然而，关键的区别在于指数。现在，我们看到一个新变量 s，而不是 iω。

这两个实体有什么关系？

嗯，s 是一个复杂的变量，因此，它可以写成s = a + iω。通过代入拉普拉斯变换的积分，我们得到

通过简单的比较，我们得出以下结论：

函数 x(t) 的拉普拉斯变换是 x(t)e ⁻ᵃᵗ 的傅立叶变换。

在试图理解两个转换之间的联系时，上述属性至关重要。

吨傅里叶变换向我们展示函数中存在哪些正弦曲线，而拉普拉斯变换向我们展示函数中存在哪些正弦曲线和指数曲线。

此外，我们可以看到傅立叶变换只是拉普拉斯变换对于 a = 0 的一个特例。

你们中的一些人现在可能想知道为什么傅立叶变换的这种“扩展”很重要。拉普拉斯变换还告诉我们什么？

振荡

振荡在物理学和工程学中扮演着重要的角色。从电路中的电流和电压振荡到各种质量弹簧系统和波，我们可以使用拉普拉斯变换来研究上述所有情况以及更多情况。要了解为什么这是真的，让我们来看看不同类型的振荡。

振荡是关于中心值（通常是平衡点）或两个或多个不同状态之间的某些度量的重复变化，通常是在时间上。

存在三种主要类型的振荡。

理想——没有阻力

这种类型的振荡是正弦曲线。由于没有阻尼，系统将永远持续振荡。

过阻尼——指数衰减

这是一种极端的振荡。系统在没有振荡的情况下恢复平衡。请注意，如果系统尽快恢复平衡，我们称之为临界阻尼。

欠阻尼——正弦和指数衰减

这是上述两种情况的组合。系统振荡（与无阻尼情况相比频率降低），振幅逐渐减小至零。

这一切与拉普拉斯变换有什么关系？

好吧，正如我们刚刚看到的，仅正弦曲线不足以描述所有不同类型的振荡。这就是拉普拉斯发挥作用的地方。通过在积分中加入指数项——而不仅仅是像英国《金融时报》那样的正弦曲线——它涵盖了更广泛的物理现象。它可以帮助我们分析和研究其响应同时包含正弦曲线和指数曲线的系统！

但这还没有结束。

拉普拉斯变换采用时间函数

拉普拉斯变换采用时间函数（或与此相关的任何其他变量）并转换为复变量 s = a+iω 的函数。网上有很多表格，可以查一大堆函数的拉普拉斯变换，不用每次都去计算积分。

那么，什么是极点？

极点是函数拉普拉斯变换分母中多项式的零点。极点在复平面上标有“X”。

例如，假设我们有以下功能。

该函数的 LT 有两个极点，p₁ = -α +iβ和p2 =-α -iβ，如下图所示。

好的，到目前为止已经足够好了。为什么极点很重要？

拉普拉斯变换的真正威力与其说是一种用于显式计算系统响应的工具，不如说是无需实际计算就可以深入了解这些响应。

我们可以通过极图获得这种洞察力。我们不会深入探讨这个想法，因为要涵盖的内容很多，所以我们只提最基本的。

极点是拉普拉斯变换膨胀到无穷大的点。识别这些点提供了有关系统响应的重要信息。

在极图中，虚轴代表正弦曲线，而实轴代表指数。

如果我们的极点仅位于虚轴上，则意味着我们的原始函数只是正弦函数，其频率等于我们极点的虚部。如果我们的极点位于实轴上，那么我们的函数本质上是纯指数函数。如果我们的极点同时具有实部和虚部，那么我们的函数就是两者的组合。最后，如果原点处有一个极点，则原函数包含一个常数项。

在前面的例子中，极点是复数。它们的实部是-α，这是我们指数的指数。它们的虚部是β（和 -β 分别），这是初始函数 f(t) 中余弦的频率。

在控制理论中，当我们研究系统的稳定性时，极图有很多应用，但这是另一个话题。

将微积分转化为代数

这是迄今为止拉普拉斯变换最常见的应用。大多数本科生第一次遇到 LT 的地方是在微分方程课上。事实上，拉普拉斯变换是一种有用的工具，可以将微分方程——包含函数不同导数的方程——转化为代数方程。

但这怎么可能呢？

好吧，要理解为什么这有效，您只需要知道拉普拉斯变换的以下非常重要的属性。

基本上，一阶导数 f(t) 变成乘积 sF(s)，即函数的拉普拉斯变换与复数变量 s 的乘积。二阶导数 f(t) 与我们现在有 s²F(s) 等的唯一区别是相同的产品。以下所有项都是初始条件，在本文中可以将其视为 0。

让我们看一个例子，以更好地理解我们到目前为止所说的内容。我们的示例是一个经典示例，质量块连接到具有一定空气阻力和外力的弹簧上。

可以使用牛顿第二定律找到描述该系统的微分方程：

请注意，我们假设空气阻力与我们质量的速度成正比，乘以-k。我们现在可以使用拉普拉斯变换将上述方程转化为代数方程。我们利用 LT 的线性特性，并假设所有初始条件均为零：

我们现在可以轻松求解 X(s) 并获取系统的重要信息。此外，我们可以使用拉普拉斯逆变换——一种将我们从 s 域带到时域的操作——来获得我们的解 x(t)。这让事情变得简单多了，因为我们根本不必担心衍生品！

最后的评论

您现在了解了拉普拉斯变换的基础知识。显然，我们在本文中只触及了皮毛，但希望您从中获得的直觉将帮助您理解与拉普拉斯变换有关的工程和物理学中更高级的概念。