欧拉公式漫谈-欧拉公式用法

1. 欧拉公式

欧拉公式是世界上最美妙的公式：

eπi+1=0e^{\pi i}+1=0 \\

2. 泰勒展开

根据维尔斯特拉斯逼近定理，对闭区间上的连续函数可以做到一致收敛。特别地，满足泰勒展开的函数可以在满足条件的区间内展开成为多项式序列的线性组合。以指数函数为例：

ex=1+x1!+x22!+x33!+⋯=∑n=0∞xnn!(1)e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\quad (1) \\

对于正弦函数，有

sin⁡x=x1!−x33!+x55!−⋯=∑n=0∞(−1)nx2n+1(2n+1)!(2)\sin x=\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}\quad (2) \\

对于余弦函数，有

cos⁡x=1−x22!+x44!−⋯=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!(3)\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}\quad (3) \\

以上展开式不仅在负无穷到正无穷的任意区间上成立，而且在整个复平面也是成立的。

我们知道，虚数单位的平方为-1，即i2=−1i^2=-1\\ 因此，在公式（1）中，使用ixix代替xx，则有：

eix=1+ix1!+(ix)22!+(ix)33!+⋯=(1−x22!+x44!−⋯)+i(x1!−x33!+x55!−⋯)=cos⁡x+isin⁡x\begin{aligned} e^{ix}&=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\cdots\\ &=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots)+i(\frac{x}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots)\\ &=\cos x+i\sin x \end{aligned}\\

由此，我们可以得出复平面上指数函数与三角函数的重要关系：

eix=cos⁡x+isin⁡x(4)e^{ix}=\cos x+i\sin x \quad (4) \\

3. 复数的三角形式与指数形式

由公式（4）我们可以知道，任意复数都可以表示成三角形式与指数形式。例如：

12+32i=cos⁡π3+isin⁡π3=eπ3i\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}i=\cos \frac{\pi}{3}+i\sin \frac{\pi}{3}=e^{\frac{\pi}{3}i} \\1+3i=2cos⁡π3+2isin⁡π3=2eπ3i1+\sqrt3 i=2\cos \frac{\pi}{3}+2i\sin \frac{\pi}{3}=2e^{\frac{\pi}{3}i} \\

更一般地，对于任意复平面上的任意复数a+bia+bi，其中a∈R,b∈Ra\in \mathbf{R},b\in \mathbf{R}，我们有：

a+bi=a2+b2⋅(aa2+b2+ba2+b2i)=a2+b2⋅(cos⁡ϕ+isin⁡ϕ)=a2+b2⋅eiϕ\begin{aligned} a+bi&=\sqrt{a^2+b^2}\cdot(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}i)\\ &=\sqrt{a^2+b^2}\cdot(\cos \phi+i\sin \phi )\\ &=\sqrt{a^2+b^2}\cdot e^{i\phi} \end{aligned}\\

4. 欧拉公式

终于进入今天的正题。其实有了上面的铺垫，欧拉公式一目了然。在公式（4）中代入π\pi,我们有：

eiπ=cos⁡π+isin⁡π=−1\begin{aligned} e^{i\pi}&=\cos \pi+i\sin \pi\\&=-1 \end{aligned}\\

移项，得：

eπi+1=0e^{\pi i}+1=0 \\