木棍的温度会怎么变化？《张朝阳的物理课》介绍一维热传导方程的求解-木棍的棍

 

原标题：木棍的温度会怎么变化？《张朝阳的物理课》介绍一维热传导方程的求解

两端接触冰水的木棍的温度分布会怎么随时间变化？无穷长棍子的热传导方程该怎么求解？傅里叶变换如何帮助求解热传导方程？2月10日12时，《张朝阳的物理课》第一百二十一期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，先简单重述了偏微分方程对于场论研究的重要意义，然后借助傅里叶级数求解了两端保持零摄氏度的木棍的温度分布会如何随时间变化，最后通过傅里叶变换分析了特定初始条件下的无穷长木棍的温度分布。

一维温度分布如何求？分离变量法帮大忙

在之前的物理直播课中，张朝阳介绍了傅里叶导热定律及热传导方程的导出过程，其中热传导方程如下：

其中κ是傅里叶导热定律中的系数，ρ是物质密度，cV是单位质量物质的等容比热。需要说明的是，这里假设在所研究的温度附近，物质的比热随温度近似不变，约为某个常数。为了计算方便，设

这样热传导方程就可以简写为

在这节课中，张朝阳开始介绍如何求解热传导方程。先从最简单的情况开始：现有长度为a的一根木棍，它的两端浸泡在冰水中，换言之它的两端保持为0摄氏度。忽略棍子的横截面，把问题简化成一维问题，并以棍子的一端为原点建立x轴，棍子的另一端位于x轴坐标值为a的位置上。假设棍子在初始时刻的温度分布为f(x)，在热传导的情况下，棍子在t时刻的温度分布T(t,x)是怎样的呢？这就需要在初始条件、边界条件的约束下求解一维热传导方程了。此时的热传导方程为

张朝阳强调，这里虽然使用了T表示温度，但是它不是绝对温度，而应该是摄氏温度。

张朝阳使用了分离变量法来求解这个方程。为此，张朝阳先求解了形式为g(t)h(x)的解。把这个形式的解代入热传导方程可得

忽略g(t)h(x)的零点，上式两端同时除以g(t)h(x)，可以得到

可以看到，仅就时刻坐标而言，上式左边只与时间t有关，上式右边只与位置x有关，所以等式两边必然等于同一个与时空坐标无关的量，将其设为λ。于是可以得到

对于h(x)，它满足

这个方程在以前的物理课中求解过很多次，它的通解是sin(kx)与cos(kx)的线性组合。不过，由于温度分布在x=0处保持为零摄氏度，因此应该去掉通解中的cos(kx)部分。进一步地，由于x=a处温度也是零摄氏度，所以ka必须是π的正整数倍(负整数倍中的符号可以被移出正弦函数外)，所以可以设k=nπ/a，于是，变量分离形式的解为

将其代入热传导方程可得λ=-k²α，所以更精确的变量分离形式解为

在这里，张朝阳还对 λ<0做了一些讨论。因为棍子两端是零温的，无论初始温度分布如何，棍子温度都应该逐渐趋向于零值分布，因此λ<0是符合物理直觉的结果。

在数学上可以严格证明，满足边界条件的解都可以展开成前面得到的变量分离解的级数形式。因此，可以假设棍子的温度分布为

考虑问题的初始条件，有

这正是f(x)的正弦展开，只要把展开系数求出来，温度分布的级数解就求出来了。

为了求出展开系数的表达式，张朝阳在上式两端同时乘上sin(mπx/a)，然后从0到a进行积分：

等式右边是一系列的三角积分，需要使用一些三角恒等式。为此，张朝阳介绍了两个基础的余弦公式：

用第二式减去第一式即可得到

于是

对于正整数m和n，如果m-n不等于零，那么有

而当m=n时，有如下结果：

综合这些积分结果就可以得到

于是，有

这样就可以通过f(x)与正弦函数的积分来表示展开系数了：

将这个系数代入前面得到的级数解，就可以得到木棍的温度分布了。

(张朝阳求得温度分布的级数解)

从有限长杆到无限长杆 从傅里叶级数到傅里叶变换

介绍完一维杆温度分布的求解方法之后，张朝阳将有限长的杆往两端延伸到了无穷远处，成为无限长杆，这样前面的问题就变成了求解整个x轴上的温度分布的问题。同样，假设初始时空的温度分布为f(x)。借助狄拉克函数，f(x)可以表示为

因此，初始温度分布可以看成是无穷多个特定强度的δ函数型分布的叠加，其中每个δ函数型分布可以理解为在特定点处温度无穷大，在其他位置温度为零的理想分布。由于热传导方程是线性方程，而目前的情况下不需要考虑边界条件，因此可以先考虑δ函数型初始条件的温度分布，再叠加到一起得到一般的温度分布。

为此，设初始温度分布为δ(x)。在有限长杆的情况下，温度分布可以由特定k值的正弦、余弦函数叠加得到，其中的k由杆长决定。在无限长杆的情况下，k的限制条件不复存在了，因此需要任意k值的正弦、余弦函数。进一步地，通过欧拉公式可以在sin(kx)、cos(kx)和e^{ikx}、e^{-ikx}之间转换，因此可以采用e^{ikx}作为叠加的函数。这样可以得到如下形式的解：

考虑t=0时刻，有

在此，张朝阳提起了以前在讲解量子力学时介绍过的等式：

与前一式对比可得

所以

在得到这个积分值之前，张朝阳分析了T(t,x)在无穷远处的趋势。从上式的积分可知，T(t,x)是无穷多个e^{ikx}的叠加，其中主要的叠加部分为k=0附近的那部分。当x很大时，e^{ikx}在特定的k范围内将会震荡得很激烈，其中的正负部分在经过积分后差不多抵消完全了，因此很接近于零值。于是，张朝阳猜测在t时刻的温度分布是一个高斯分布。

分析完温度分布的渐近行为之后，张朝阳介绍了借助积分表得到的结果：

它表明高斯分布的傅里叶变换依然是高斯分布。借助此结果可以得到

此式就是初始温度为δ(x)时的解。至于怎么通过这个解得到一般情况的解，张朝阳将会在下一次直播课中介绍。

(张朝阳求解初始分布为δ(x)的无穷长杆温度分布)

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