变换的真谛：“拉普拉斯变换”最美的空间结构模型（拉普拉斯变换常见变换及定律）

前面介绍的傅里叶变换是在频域内分析波的特性，但对于无限放大的信号，却无法处理，所以必须对范围推广到复频域，如果把傅里叶变换看做是二维空间的话，那么拉普拉斯变换就是三维空间学过信号处理和高数的伙伴对这个公式并不陌生，看上去很乏味，其实背后的原理让人着迷：。

因为是推广到复平面，首先我们来看含有复数的指数参数含义：如下s是个复数，所以可以分解为实部和虚部，但对时间而言S始终是常量，

但对整体e^s而言，它的旋转半径是e^0.1t, 旋转角度是1t ，所以图像是半径不断增加的螺旋状。

如果增加s虚部：意味着同一时刻的旋转角度增加，即杆子的速度加快

比较：2t相比上面的1t而言，同一时刻的旋转角度增加，会旋转的更快，螺距会变小

如果增加s的实部意味着旋转半径会变大，如下e^0.2t时图形

e^0.1t时图形

但同一时刻的旋转角度不变，所以螺距不变，仅是旋转半径增大。如果实部为零，则旋转半径是常数1，图形就是一个均匀的螺旋线。其实这就是傅里叶变换的特性

实部是3时，就是一个旋转半径为3的均匀螺旋线。

如图两个实部相等的函数叠加，空间图形就是余弦波，因为他们两个起始角度相反，在空间上抵消，所以仅留下平面上的图形，

如果改变实部和虚部，将两个指数函数叠加：结合上述的分析和傅里叶级数就很容易理解：

多个指数函数叠加，因为起始角度相互抵消，所以就留下水平面上旋转半径不同的图形。

如图

通过这种方式将指数函数叠加在一起就可以创建任意的图形，这是本篇的重要思想结合前面的傅立叶级数和傅里叶变换，我们可以看到复指数将波形拓展到空间的任意角落，这是傅立叶变换所没有的，下一篇继续讨论由此得出的拉普拉斯变换公式原理。