面积是什么？为什么正方形长乘宽就是面积？是谁提出面积的概念，又是谁算出来的？-为什么正方形的面积大
2023-05-31 18:55:00
用几个基本原理可以说明为什么长方形面积等于长乘宽。
首先两个全等的图形面积完全相等。
一个长方形如果长为 aa ，宽为 bb ，面积函数可表示为 f(a,b)f(a, b) 。交换 a,ba,b 边，可得到一个面积完全相等的长方形，所以 f(a,b)=f(b,a)f(a,b) = f(b,a) 。
两个图形拼起来的面积是两者之和。对于长相等的长方形，将它们对齐长边，把宽边拼在一起，可以形成另一个长方形，宽是两者之和。所以 f(a1+a2,b)=f(a1,b)+f(a2,b)f(a_1+a_2,b)=f(a_1,b)+f(a_2,b) 。
由此可得：
因为长方形长、宽、面积均为正，有0">a1,a2>0a_1,a_2>0， 0">f(a1,b),f(a2,b)>0f(a_1, b),f(a_2,b)>0 ，所以f(a,b)f(a,b) 单调递增。因为 f(a1+a2,b)=f(a1,b)+f(a2,b)f(a_1+a_2,b)=f(a_1,b)+f(a_2,b) ，所以对于有理数 0">p>0p>0 ，有pf(a,b)=f(pa,b)pf(a,b) = f(pa, b) 。ff关于aa连续（即证明f(a,b)f(a,b) 在aa趋向于0时极限为0，首先aa趋向于0时单调递减有下界，所以极限一定存在，其次用第二条证明 f(a,b)f(a,b) 可以任意接近于0，因此 lima→0f(a,b)=0\lim_{a\to 0} f(a,b) = 0 。因为 ff 关于aa连续，对于任意实数0">u>0u>0，f(ua,b)=uf(a,b) f(ua,b) = u f(a,b) ，所以f(a,b)=af(1,b)f(a,b)=af(1,b) 。同理 f(a,b)=bf(a,1)=ab×f(1,1)f(a,b) = bf(a,1) = ab\times f(1,1) 。所以一个长为 aa ，宽为 bb 的长方形面积是 1×11 \times 1 长方形面积的 abab 倍。为了使用方便，可以规定长为1,宽为1的长方形面积 f(1,1)=1f(1,1)=1 ，因此 f(a,b)=abf(a,b) = ab ，也就是大家说的，长方形的长乘宽等于面积。
所以，原始的定义不是定义长方形的面积公式，而是定义单位正方形的面积为1，任意长宽的长方形都可以由单位正方形或更小的正方形拼接出来。
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