除了值的大小，我们对常数e到底知道多少？-常数e的应用

2023-08-03 19:20:52

· 对于e，我们似乎所知不多

在数学中，常数e一直是一个神奇的存在，似乎很常见，可我们对其又知道多少呢？

在众多的数学书籍中都能找到描述常数e的语句，比如在维基百科中，是这样解释的：

“The mathematical constant e is the base of the natural logarithm.”

这种解释看起来比较晦涩。从中文上看，大致是这么个意思：“数学常数e是自然对数的基础”。但，不幸的是，这里又引出了另一个概念“自然对数”。

照例，我们还可以从维基百科中得到解释：

“The natural logarithm, formerly known as the hyperbolic logarithm, is the logarithm to the base e, where e is an irrational constant approximately equal to 2.718281828459.”

这个解释是说：“自然对数，以前称为双曲对数，是以e为底的对数，其中e是一个无理常数，大约等于2.718281828459。”

这让我们感觉到，冥冥之中，我们已经陷入到一个很好的循环引用之中。这种循环所带给我们的痛苦是：它很正确，但却没有帮助。回想我们在中学的课本上，也只是直接的告诉了学生们类似的结论，却同样无法跳出循环解释什么。

对此，我表示十分理解。对于绝大多数的数学定义来说，由于要苛求严谨，就不可避免的使得数学定义往往都枯燥而正式，都带有一种冷冰冰的高傲的气质。但这种气质，确实对一位初学者来说是十分不友好的。

今天，我就分享一些关于e的见解，让他显得更加平易近人。

· e不仅仅是一个数字

如果，仅仅简单的把e描述为“一个常数，大约为2.71828…”，这就好比，把Pi描述为“一个无理数，大约等于3.1415…”。当然，这确实没什么不对，但就像之前所说，这样的描述似乎可用之处也少得可怜。比起“他是多少”，我们更感兴趣的是“他怎么是的”。

这样简单的数值性描述，往往忽略了其背后所代表的客观意义，但正是这种实际的意义才是我们理解其本质的核心。

Pi是所有圆的圆周和直径之比。它是一个比值，是所有圆固有的基本比率。由于其与生俱来的属性，这个比率会影响诸如：圆、球体、圆柱体等等一系列图形的周长、面积、体积和表面积等相关的众多计算，以及从圆导出的三角函数sin，cos，tan。

与此相类似，e应该被怎么理解？

e是持续增长过程所具有的基本增长率。

有了它，我们就能很容易的得到各种连续复合增长的增长率。

简单的说，当系统以指数级连续增长时，如人口、放射性衰变、利息计算等等，就可以用e估算。

就好比，每个数字都可以视为1（基本单位）的缩放版本，每个圆也都可以视为单位圆（半径是1）的缩放版本，那么，同样的，每个增长率都可以被看作为，以e为单位增长的缩放版本。

所以，e不是一个晦涩模糊的，看似随机的数字。e代表了一种思想，即所有不断增长的系统都是以一个基本增长率的缩放版本。

· 指数增长

让我们从一个基本系统开始，这个系统在一段时间后会翻倍。例如：

· 细菌可以每24小时加倍分裂· 你选中了一支回报率100%的理财产品，你的钱每年翻倍

这些变化看起来大致应该像这样：

上述的例子中，1变为2，2变为4，以此类推，可称作裂变。在数学上可以这么描述，当初始值进行了x次分裂，那么，就相当于将初始值增加了

倍。例如：分裂1次，就得到

倍；分裂4次，就得到

倍。

由此得到其一般增长公式为：

换句话说，成倍增长可以表示为100%的增长。那么，增长公式就可以重新写成：

我们可以看到，原公式中的2被写成了1+100%。

当然，我们可以用新的回报率（50%，25%，200%）来代替现有的100%，这就得到了，在x个回报期，回报率为return，一般增长公式为：

· 进一步思考

上面我们所举的例子，都是假设增长是分阶段进行的。也就是说，细菌在等待，等待，然后爆炸，他们在最后一刻增加了一倍；利息收入神奇地出现在1年到期时。因此我们把上述的增长看作时断时续的，结果是瞬间发生的，这样就导致了上图中绿点突然出现了，这就是一种离散系统。

显然，真实的世界并不总是这样。如果把图放大，我们会发现细菌是随着时间的推移而不断的分裂：

绿点细菌开始是不存在的，之后它渐渐的从蓝点细菌中生长出来。经过一个单位时间后，一个完整的绿点细菌被生长出来。

这显然是一个连续系统过程，但我们只是在离散的观察结果。但这样会改变我们的方程式吗？

当然不。在细菌的例子中，半形成的绿色细菌在完全生长并与蓝色细菌分离之前，是毫无意义的。这个等式仍然成立。

· 金钱改变一切

那么有没有对连续系统的连续观测结果呢？

我们可以考虑存钱理财的例子。一旦我们开始赚取利息，那么钱就在不断的自我复制，源源不断的产生利息。不需要像之前的细菌那样等到成熟时刻。

根据我们的旧公式，利息增长如下：

但同样，上图有一点并不完全正确：所有的利息都出现在最后一天。

让我们放大一点，把这一年分成两部分。我们每年赚100%的利息，或者每6个月赚50%的利息。所以，我们前6个月赚50美分，下半年再赚50美分：

但这仍然不够细致！当然，我们原来的美元（蓝点）一年下来赚一美元。但6个月后，我们有了一个50美分的硬币，此时我们千万不要忽略了，那50美分可以自己挣钱：

因为我们的利率是每半年50%，那50美分本可以赚25美分（50%乘以50美分）。一年后我们就可以总共给我们2.25美元。我们从最初的1美元中获利1.25美元，甚至比翻倍还要好！

回报增长公式就可以写成另外的样子。在两个半期中，均为50%的增长率，则：

· 连续复合增长

同样的，把它分成3个增长33%的周期。将我们3个复合周期的增长率绘制成一幅有趣的图画：

12个月后的最终值为：1+1+0.33+0.04，约为2.37。

我们赚了1.37美元，比上次的1.25美元又好了！

· 我们能得到无限的钱吗？

为什么不用更短的时间？每个月，每一天，每小时，甚至每纳秒呢？我们的回报会飞涨吗？

如果尝试在我们的增长公式中使用不同的n，由此得到的总回报，是会随着n的增大而增大，但似乎又不是无限大下去，而这种趋势会渐渐的慢下来。

数字会在2.718左右收敛。

等等，这看起来像不像常数e的值！

这时，让我们引入极限的概念，再来看看这个公式。e被定义为极限增长率，继续保持100%的复合回报率，那么在越来越细分的周期内：

这个极限是收敛的，其值保持在2.718左右。

· 但这一切意味着什么？

数字e（2.718…）是一个时间段内复合100%增长的最大可能结果。当然，你一开始希望从1增长到2（这是100%的增长，对吧？）。但随着每一个微小的进步，你创造了一个小的红利，开始自己增长。当一切都发生了，你最终在1个时间段的末尾得到的是e（2.718…），而不是2。e是最大值，当我们尽可能多的复合时会发生的极限。

所以，如果我们从1美元开始，以100%回报率连续复合，我们得到1e。如果我们从2美元开始，我们得到2e。如果我们从11.79美元开始，我们得到11.79e。

e就像一个速度限制（比如c，光速），它表示使用一个连续的过程，你可以增长多快。你可能不会总是达到速度极限，但这是一个参考点：你可以用这个普遍常数来得到其他的增长率。

值得注意的是，需要将增长与最终结果分开。1成为e（2.718…）意味着增长（增长率）为171.8%。就其本身而言，e是在考虑所有细分的增长后，得到的最终结果（原始值+增加值）。