傅立叶变换定义整理（傅立叶变换规则）

 

傅立叶变换

目录如下

连续信号

周期信号的傅立叶级数展开

非周期信号的傅立叶变换

周期信号的傅立叶变换

离散信号

离散时间傅立叶级数

离散时间傅立叶变换

周期信号的傅立叶级数展开

可以展开成三角函数，余弦函数，或正弦函数

f(t)=a0+∑n=1∞(ancosnωt+bnsinnωt)f(t) = a_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}(a_ncosn \omega t + b_n sinn \omega t )

f(t)=c0+∑n=1∞cncos(nωt+ϕn)f(t) = c_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}c_n cos(n \omega t + \phi_n)

f(t)=d0+∑n=1∞dncos(nωt+θn)f(t) = d_0 + \sum_{n = 1}^{\infty}d_n cos(n \omega t + \theta_n)

an,bna_n, b_n 等为傅立叶系数

也可以展开成复指数级数

f(t)=∑n=−∞∞Fnejnωtf(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}F_n e^{jn \omega t} (1)Fn=F(nω)=1T∫t0t0+Tf(t)e−jnωt\tag{1} F_n = F(n \omega) = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)e^{-jn \omega t}

这里引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导

cnc_n 是实函数， FnF_n 一般是复函数

傅立叶系数的关系

Fn+F−n=anF_n + F_{-n} = a_n ， Fn=12(an−jbn)F_n = \frac{1}{2}(a_n - jb_n)

j(Fn−F−n)=bnj(F_n - F_{-n}) = b_n ， F−n=12(an+jbn)F_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + jb_n)

phase(Fn)=arctan(−bnan)=φphase(F_n) = arctan(-\frac{b_n}{a_n}) = \varphi

phase(F−n)=arctan(bnan)=−φphase(F_{-n}) = arctan(\frac{b_n}{a_n}) = -\varphi

非周期信号的傅立叶变换

由于周期 TT趋近无限大 ，则频谱间隔无穷小，趋向于连续，谱线高度趋近于零。

因此得到连续的频谱密度函数替代原有的离散频谱，推导过程如下：

F(ω)=limT→∞F(nω)T=limT→∞∫t0t0+Tf(t)e−jnωtdtF(\omega) = \lim_{T \to \infty}F(n\omega ) T =\lim_{T \to \infty}\int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)e^{-jn \omega t}dt

非周期信号的傅立叶变换：

(2)F(ω)=∫−∞∞f(t)e−jωtdtF(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j \omega t}dt \tag{2}

幅频一般为 |F(ω)||F(\omega)|

非周期信号的傅立叶逆变换：

(3)f(t)=12π∫∞∞F(ω)ejωtdωf(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega \tag{3}

推导过程如下

f(t)=∑n=−∞∞F(nω)ejnωtf(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}F(n\omega)e^{jn\omega t} ， F(nω)=F(ω)T F(n\omega) =\frac{ F(\omega)}{T}

f(t)=∑n=−∞∞F(nω)ωejnωtω=∑nω=−∞∞F(ω)2πejnωtΔ(nω)=12π∫∞∞F(ω)ejωtdωf(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \frac{F(n\omega)}{\omega}e^{jn\omega t} \omega = \sum_{n\omega = -\infty}^{\infty}\frac{F(\omega)}{2\pi}e^{jn\omega t}\Delta(n\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega

傅立叶变换存在的充分条件是

(4)∫−∞∞|f(t)|dt<∞\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt < \infty \tag{4}

周期信号的傅立叶变换

周期信号不满足 (4)(4) 的绝对可积条件，有可能积分不收敛

但引入冲激信号之后，冲激的积分有意义，在这个意义下，周期信号的傅立叶变换存在

周期信号的频谱是离散的，其频谱密度，即傅立叶变换是一系列冲激

周期信号的傅立叶变换定义如下：

f(t)=∑n=−∞∞Fnejnωtf(t) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}F_n e^{jn \omega t}

(5)FT[f(t)]=F(ω)=2π∑n=−∞∞Fnδ(ω−nω)FT[f(t)] = F(\omega) = 2\pi \sum_{n = - \infty}^{\infty} F_n \delta(\omega - n \omega) \tag{5}

由一些冲激组成离散频谱，大小不是有限值，而是无穷小频带内有无穷大的频谱值

周期信号傅立叶级数(Fourier Series)和单周期信号傅立叶变换(Fourier Transform)的关系：

Fn=1T∫t0t0+Tf(t)e−jnω1tF_n = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0 + T}f(t)e^{-jn\omega_1 t}

取 f(t)f(t) 的一个周期 f0(t)f_0(t) ,

F0(ω)=FT[f0(t)]=∫t0t0+Tf0(t)e−jωtF_0(\omega) = FT[f_0(t)] = \int_{t0}^{t_0 + T}f_0(t)e^{-j\omega t}

Fn=F0(ω)T|ω=nω1F_n = \frac{F_0(\omega)}{T} |_{\omega = n\omega_1}

采样率和信号频率上限的关系：

采样频率要大于信号频率的两倍，才能无损表达信号。

如果小于两倍的话，即两个采样点之间，信号运动超过半个周期，那么这个信号我们采不到，比如信号正好变化了一整个周期，相当于没有在最后的信息中体现出来。

所以我们假定一段音乐的频率上限就是采样率的二分之一。

离散时间傅立叶级数

x(n)=∑k=0N−1X(k)ej2πNknx(n) = \sum_{k = 0}^{N - 1}X(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}

X(k)=1N∑n=0N−1x(n)e−j2πNknX(k) = \frac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N - 1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}

与连续型基本一致，要注意到

ek(n)=ej2πNkn=ej2πN(k+rN)n=ek+rN(n)e_k(n) = e^{j\frac{2\pi}{N}kn} = e^{j\frac{2\pi}{N}(k + rN)n} = e_{k + rN}(n)

因此谐波成分只有 NN 个独立量

离散时间傅立叶变换

非周期序列

傅立叶变换：

X(ejω)=∑n=−∞∞x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n = -\infty}^{\infty}x(n)e^{-j\omega n} ，序列到连续函数

逆变换：

x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωndωx(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega ，连续函数到序列

逆变换表明离散时间序列可以分解为频率在 2π2\pi 区间上分布的、幅度为 12πX(ejω)dω\frac{1}{2\pi}X(e^{j\omega})d\omega 的线性组合

积分区域任选长度为 2π2\pi 即可

逆变换推导：

x(n)=1N∑k=0N−1X(ejkω0)ejkω0nx(n) = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N - 1}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}

w0=2πNw_0 = \frac{2\pi}{N}

x(n)=12π∑k=0N−1X(ejkω0)ejkω0nw0x(n) = \frac{1}{2\pi}\sum_{k = 0}^{N - 1}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}w_0

N→∞,kω0→ω,ω0→dω,∑→∫N \to \infty, k\omega_0 \to \omega, \omega_0 \to d\omega, \sum \to \int

x(n)=12π∫−ππX(ejω)ejωndωx(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega

周期序列

DTFT(x[n])=2π∑k=−∞∞X(k)δ(ω−2πkN)DTFT(x[n]) = 2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(k)\delta(\omega - \frac{2\pi k}{N})

取单周期信号，傅立叶变换为

X(ejω)=∑n=0N−1x(n)e−jωnX(e^{j\omega}) = \sum_{n = 0}^{N - 1}x(n)e^{-j\omega n}

而周期序列的傅立叶级数为

X(k)=1N∑n=0N−1x(n)e−j2πNknX(k) = \frac{1}{N}\sum_{n = 0}^{N - 1}x(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}

X(k)=1NX(ejω)|ω=2πNkX(k) = \frac{1}{N}X(e^{j\omega})|_{\omega = \frac{2\pi}{N}k}