平面旋转矩阵-平面旋转矩阵公式

 

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预备知识　矩阵

　　 平面旋转变换属于线性变换，可以用矩阵 R2\boldsymbol{\mathbf{R}} _2

表示．虽然我们可以直接把变换写成矩阵乘以列矢量的形式，但这里我们用另一种方法推导一次， 能更好地帮助理解和记忆．

　　 已知单位矢量 x^=(1,0)T,y^=(0,1)T\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} = (1, 0) ^{\mathrm{T}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = (0, 1) ^{\mathrm{T}} 逆时针旋转 θ\theta

为

R2(10)=(cos⁡θsin⁡θ)R2(01)=(−sin⁡θcos⁡θ)(1)\begin{align}&\boldsymbol{\mathbf{R}} _2 \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos \theta \\ \sin \theta\end{pmatrix} \qquad \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta\end{pmatrix}&(1)\\\end{align} 要求任意矢量 v=(v1,v2)T\boldsymbol{\mathbf{v}} = (v_1, v_2) ^{\mathrm{T}} 的旋转矩阵， 可以将 v\boldsymbol{\mathbf{v}} 表示成 x^\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} 和 y^\hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} 的线性组合（式 1 ） v=v1x^+v2y^\boldsymbol{\mathbf{v}} = v_1 \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}． 由式 17 ， 该线性组合的旋转变换等于 x^,y^\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}

分别做旋转变换再做同样的线性组合， 即

R2(v1x^+v2y^)=v1R2x^+v2R2y^=v1(cos⁡θsin⁡θ)+v2(−sin⁡θcos⁡θ)=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(v1v2)(2)\begin{align}&\begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 \left(v_1 \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) &= v_1 \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_2 \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ &= v_1 \begin{pmatrix}\cos \theta \\ \sin \theta\end{pmatrix} + v_2 \begin{pmatrix}-\sin\theta \\ \cos\theta\end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}\cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1 \\v_2\end{pmatrix} \end{aligned}&(2)\\\end{align}

所以旋转矩阵为

R2=(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(3)\begin{align}&\boldsymbol{\mathbf{R}} _2 = \begin{pmatrix} \cos\theta & - \sin\theta\\ \sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix}&(3)\\\end{align}

这与平面旋转变换得出的结果一致．

　　 把这个推导推广到一般情况， 就是如果已知每个基底 βi\boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i 的线性变换（记变换矩阵为 A\boldsymbol{\mathbf{A}}）结果为 αi=Aβi\boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{\beta}} _i， 那么变换矩阵的第 ii 列就是第 ii 个列矢量 αi\boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _i．

主动和被动理解

　　 我们将任意矢量 v\boldsymbol{\mathbf{v}} 的旋转变换记为 u=R2v\boldsymbol{\mathbf{u}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 \boldsymbol{\mathbf{v}}， 我们把 v\boldsymbol{\mathbf{v}} 看做是二维空间中某矢量关于基底 x^,y^\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} 的坐标． 若我们把 u\boldsymbol{\mathbf{u}} 看做是另一矢量关于 x^,y^\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} 的坐标， 那么 u^\hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} 就等于 v^\hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} 逆时针旋转 θ\theta

角． 旋转矩阵的这种理解被称为主动的．

　　 另一种可能的理解是， u\boldsymbol{\mathbf{u}} 和 v\boldsymbol{\mathbf{v}} 代表二维空间中的同一矢量关于不同基底的展开． 我们把 u\boldsymbol{\mathbf{u}} 使用的基底记为 u^1,u^2\hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _2， v\boldsymbol{\mathbf{v}} 使用的基底记为 v^1,v^2\hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _2

． 我们有

u1u^1+u2u^2=v1v^1+v2v^2(4)\begin{align}&u_1 \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _1 + u_2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _2 = v_1 \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _1 + v_2 \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _2&(4)\\\end{align} 将 R2\boldsymbol{\mathbf{R}} _2 的矩阵元记为 RijR_{ij}

， 不难证明两组基底之间的关系为

{v^1=R11u^1+R21u^2v^2=R12u^1+R22u^2(5)\begin{align}&\left\{\begin{aligned} \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _1 = R_{11} \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _1 + R_{21} \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _2 \\ \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _2 = R_{12} \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _1 + R_{22} \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _2 \end{aligned}\right.&(5)\\\end{align} 将矩阵元代入可知， 基底 u^1,u^2\hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _2 分别是基底 v^1,v^2\hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{v}}} _2 顺时针旋转 θ\theta 角所得． 我们把这种理解叫做被动的， 即旋转矩阵表示同一个矢量的基底变换．

逆矩阵

　　 我们既可以使用平面旋转变换中求逆变换的方法把 θ\theta 变为 −θ-\theta 再化简求出 R2\boldsymbol{\mathbf{R}} _2 的逆矩阵，也可以通过解方程求逆矩阵（式 28 ）． 但最方便的是，由于 R2\boldsymbol{\mathbf{R}} _2

是一个单位正交阵， 我们只需要把矩阵转置即可得到逆矩阵．

R2−1=R2T=(cos⁡θsin⁡θ−sin⁡θcos⁡θ)(6)\begin{align}&\boldsymbol{\mathbf{R}} _2^{-1} = \boldsymbol{\mathbf{R}} _2 ^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} \cos\theta &\sin\theta \\ -\sin\theta &\cos\theta \end{pmatrix}&(6)\\\end{align}