连通图基本群、基尔霍夫定律について_连通图的判断

1.连通图的定义

将连通图G的边看做线段实体化，则G是一个拓扑空间，求其基本群允许连通图中两个点之间有不止一条边、一个点和它自己之间也可以有边，那么在同伦等价意义下可将两个不同的点之间的边捏成一个点，得到一个新的连通图，这个操作使得边数和点数各-1；重复执行这一操作直到只剩一个点，这时连通图就变成了若干个圆的蒂联。

2.连通图的例子

所以G的基本群为：π1(G)=l-v+1个Z的自由积，其中l、v分别为G的边数和点数从闭路代表元的层面看，生成元应就是（取定基点的）l-v+1个“相互独立”的闭路径这里“闭路”是对空间G而言，“闭路径”是对图G而言。

3.连通图算法

一阶同调群，直接用Hurewitz大法得到H1(G)=Z^(l-v+1)，不过考虑生成元的话达不到想要的效果从胞腔同调的角度看，G是一维胞腔复形，那么C2(G)=0，C1(G)=Z^l，C0(G)=Z^v。

4.连通图的性质

考虑同构φ∗:H1(⨆l(D1,S0))→H1(X1,X0)=C1(G)\varphi^{*}: H_1(\bigsqcup_{l}(D^1,S^0))\to H_1(X_1,X_0)=C_1(G) 及边缘同态

5.连通图完全图

∂1:C1(G)=H1(X1,X0)→H0(X0)\partial_1: C_1(G)=H_1(X_1,X_0)\to H_0(X_0) ，给G的边指定定向，C1(G)即等同于G的所有有向边生成的自由群S(G)，相应的，

6.连通图有哪些

∂1\partial_1 即对应于S(G)上的边缘算子∂\partial，e.g. (a,b)→b-a于是一阶同调就可以描述为：ker( ∂\partial )的维数为l-v+1 根据胞腔同调基本定理，奇异同调H1(G)在链的层面下同构于ker( 。

7.连通图的数学定义

∂\partial )---------------------------------- 这个问题是我昨天练（玩）习编（耍）程时想到的，对于一个电路图，边数l、节点数v，指定每条边的正向后，按照定律，每个闭路电压和为0，每个节点电流和为0。

8.连通图怎么判断

当使用基尔霍夫定律列方程时，有2l个未知数，同时可以产生l个欧姆定律的方程、v个电流方程以及若干个电压方程，一般来说方程个数是绰绰有余的，所以这时(为了让机器不那么智障)(小声)就会考虑让方程个数最少化。

9.连通图特点

显然最少的方程总个数就应该是2l；然后平摊到各类方程上： ①欧姆定律的l个方程全部必需； ②v个电流方程中，任意剃掉一个即实现方程个数最少化，称为“有效节点”的个数这是因为：每个方程可以看做是若干个未知数的一次线性组合，假设v-1个方程线性相关，比如说第v-1个方程可以被前m个方程系数非零地线性表出，那么第v-1个方程中出现的（系数非零）未知数在前m个方程中出现过，也就是说第v-1个点只能连接前m个点，反过来，前m个点全都不能连接到除第v-1个点之外的其他点，否则相应未知数只会在前m个方程+第v-1个方程中出现一次。

10.连通图性质

这样的话，第v-1个点和前m个点单独构成连通分支，矛盾而第v个方程一定可以被前v-1个线性表出，因为所有v个方程相加=0 ③所需电压方程的最少个数便是l-v+1，称为“有效回路”的个数，正好是G的一阶同调群维数。

事实上，直接去考虑“有效回路”的话，回路（有向边）与方程（未知数）是一一对应的，回路正好就可以定义成ker( ∂\partial )中的元素（如果不介意奇怪的情形，例如两个连通回路的并、一个简单回路绕n圈、折返之类的），电压方程也同样看成是若干个未知数的线性组合，那么，“有效回路”意思就是：这些方程是线性无关的，缺一不可；任取其他的回路，对应电压方程都可以被这些方程线性表出。

这就与上面提到的胞腔同调完全相合，求“有效回路”也就相当于求ker( ∂\partial )的生成元------------------------------------------ 怎么(让机器)求连通图的“有效回路”？。

个人想法，可以结合极小生成图，然后利用第一部分的缩合过程给出结果按照缩合的步骤，从G生成极小生成图G后，可以直接把G缩成一点，那么极小生成图之外的边就与“有效回路”一一对应所以，可以这样从一个边构造出一个“有效回路”：。

(a,b)→(a,b)+Γ(b,a)，其中Γ(b,a)为G中从b到a的路径 大致原理是，(a,b)+Γ(b,a)在同伦等价f:G→G/G下退化成G/G中的一个圆，不同的(a,b)退化成不同的圆，从而形成H1(G/G)的一组生成元，而同调群（这里考虑奇异同调群最方便）在同伦等价诱导下为同构。

------------------------------------------- 以上为目的不明的综述杂谈，主要大概是为了从理论上弄清楚事物之间的联系，另外如有图论方面用语不当还望理解