欧拉的这个著名公式探秘了多面体的秘密

就我所知，之前还没有人发现过这条通用的立体几何性质。——欧拉

故事要从普鲁士腓特烈大帝的宫廷轶事说起。在二十五年里，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）一直是腓特烈大帝宫廷的常客。他在 1741 年被腓特烈大帝聘请到柏林科学院当数学学科的带头人。

起初，一切都很顺利，欧拉甚至还常常从自己的院子里摘些草莓给腓特烈大帝。不过，自从“七年战争”（1756—1763）中俄国占领柏林后，这二人的关系便很快陷入了僵局。那时，腓特烈大帝开始对科学院的运营细节产生兴趣，因此几乎天天会看到欧拉。欧拉越来越觉得这位国王小气、粗俗；而腓特烈大帝呢，这位优雅的作曲家和演奏家则认为欧拉不谙世事——更准确地说，觉得他短浅庸俗。于是，欧拉毫不犹豫地接受了俄国叶卡捷琳娜女皇的邀请，于 1766年回到了俄国的圣彼得堡科学院。他在去柏林之前，曾是那里的数学学科带头人。此后，他再也没有离开过圣彼得堡。

欧拉拥有神奇的心算能力。曾经有两位学生为某个复杂求和计算结果的第五十位小数争执不下，欧拉轻而易举地用心算算出了正确答案。法国物理学家弗朗索瓦·阿拉戈（François Arago）对此的评论是：“他悄无声息地计算着，如同人生来就会呼吸，老鹰天生就会翱翔。”

在随后的日子里，尽管欧拉的视力越来越糟糕，但他仍不断取得丰富的数学成果。他是有史以来最高产的数学家，出版或发表了数以百计的著作和论文，总计有数万页之多，他的全集出版工作至今尚未完成。欧拉的作品涉猎范围非常广，如素数的纯粹性、音乐中的和声、三角形的几何性质，以及微积分、机械学，乃至光学、天文学、声学、对船舶航行的研究等实用领域。就像应用数学家皮埃尔 – 西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）后来热情洋溢地对他的学生所说的：

研读欧拉吧，研读欧拉吧。他是我们所有人的导师。

1750 年 11 月 14 日，当欧拉还在柏林时，他给克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）写了一封信。哥德巴赫是他在圣彼得堡时的同事，同时也是一位传奇的数学发烧友。就像一个世纪后的德·摩根和哈密顿那样，这两位先生也保持通信很多年，分享彼此最新的数学研究进展。如今，哥德巴赫主要因他提出的那个至今尚未被攻克的猜想而被人提及，该猜想指出：

每个大于 2 的偶数，都可以由两个素数之和表示。

比如：

10=5+5，20=13+7，30=19+11，40=23+17

欧拉的信是关于多面体（一种由平面围成的立体图形）的，比如，立方体是由六个正方形围成的，正方棱锥是由一个正方形和四个三角形围成的。

人们研究多面体的历史十分悠久，至晚可以追溯到古埃及金字塔的建造，那大约是公元前三千年的事情了。古希腊人则钟情于正多面体，就像立方体那样，所有的面都是相同的正多边形（例如正方形），且每个角都由那些多边形以相同的排列组成。正多面体如今也常常被称为柏拉图立体，因为柏拉图（Plato）在他的《蒂迈欧篇》（创作于约公元前 400 年）中讨论过它们。欧几里得（Euclid）在《几何原本》（创作于约公元前 300 年，是流传最广的数学著作）中，向人们展示了如何构造它们，并证明了只存在以下五种正多面体。

■ 正四面体，由四个正三角形围成；

■ 立方体，也叫正六面体，由六个正方形围成；

■ 正八面体，由八个正三角形围成；

■ 正十二面体，由十二个正五边形围成；

■ 正二十面体，由二十个正三角形围成。

古希腊人将这些正多面体和古老的四元素联系在一起：正四面体代表火，立方体代表土，正八面体代表气，正二十面体代表水，正十二面体则代表宇宙。

接下来，我们定义那些每个角由正多边形以相同的排列组成，但每个面不必完全相同的多面体为半正多面体，也称阿基米德多面体。有两类多面体可以构造出无穷多种半正多面体，即这样一种棱柱和反棱柱，它们以一对正多边形做顶面和底面，侧面由一圈正方形或正三角形围成。

除此之外，还有十三种半正多面体，它们有的名字很有意思，比如，扭棱立方体和大削棱截角十二面体。下图所示的是立方八面体（由正方形和三角形组成）、截角八面体（由正方形和六边形组成）、截角二十面体（由五边形和六边形组成）以及大削棱截角立方体（由正方形、六边形和八边形组成）。

这些多面体不仅是数学上的珍品，在自然界中也广泛存在：自然界中的黄铁矿晶体就呈立方体、八面体或十二面体等，而方铅矿晶体则呈立方体、八面体等。

尽管古希腊和其他地方的学者都研究过如何构造多面体，但在欧拉之前，人们似乎对多面体上的面、棱和顶点（角）的数量并不感兴趣。是欧拉率先引入了棱的概念（当时，他称其为 acies）。

欧拉给哥德巴赫的信由奇特的拉丁语加德语混搭而成，这是他常用的语言。他写道：

最近，我正在研究用平面围成的立体图形的一般性质，毫无疑问，从中应该可以找到通用的定理……

欧拉定义 H 为面的数量，S 为顶点的数量，A 为棱的数量，并做了一系列的假设。它们产生了大量的命题，但其中的第六条难住了他。

但下面的这个命题，我还没有给出一个令人满意的证明：

6. 对每个用平面围成的立体图形而言，面的数量加上顶点的数量，正好比棱的数量多 2，即 H+S=A+2……

欧拉强调：“就我所知，之前还没有人发现过这条通用的立体几何性质。”如今，我们称这个公式为多面体欧拉公式，简称欧拉公式。

多面体欧拉公式

对任意多面体而言，它的

　　面的数量 + 顶点的数量 = 棱的数量 +2

或者等价地说，

　　面的数量 – 棱的数量 + 顶点的数量 =2

在这里，我们用 F 表示面的数量，V 表示顶点的数量，E 表示棱的数量。于是，多面体欧拉公式可以记为 F +V =E +2，或F –E +V =2。我们重新研究一下那五种正多面体，以便更好地理解这个公式。

对立方体而言，它有六个正方形的面、十二条棱和八个顶点，因此 F=6，E=12，V=8，代入欧拉公式后得到

F–E+V=6-12+8=2

符合公式。

同理，对正四面体而言：

F=4，E=6，V=4，得到 F–E+V=4-6+4=2

正八面体：

F=8，E=12，V=6，得到 F–E+V=8-12+6=2

正十二面体：

F=12，E=30，V=20，得到 F–E+V=12-30+20=2

正二十面体：

F=20，E=30，V=12，得到 F–E+V=20-30+12=2

欧拉公式对于非正多面体同样有效，如立方八面体：

F=14（8 个三角形和 6 个正方形），E=24，V=12，

得到 F–E+V=14-24+12=2

截角八面体：

F=14（6 个正方形和 8 个六边形），E=36，V=24，

得到 F–E+V=14-36+24=2

截角二十面体：

F=32（12 个五边形和 20 个六边形），E=90，V=60，

得到 F–E+V=32-90+60=2

大削棱截角立方体：

F=26（12 个正方形、8 个六边形和 6 个八边形），

E=72，V=48，得到 F–E+V=26-72+48=2

欧拉公式有时候会被错误地归功于法国哲学家、数学家勒内·笛卡儿（René Descartes）。大约在 1639 年，笛卡儿开始对多面体所有面上的角的总数产生了兴趣：如果面数为 F，立体角（顶点）的数量为 V，那么角的总数等于 2F +2V -4。比如，立方体有 6 个正方形面，每个面有 4 个角，总共有 24 个角，于是有

2F+2V-4=2×6+2×8-4=24

笛卡儿还发现，在每个面上，角与边（棱）的数量相同，由于每条棱是由两个面相交而成的，因此角的总数等于 2E。将这个结果代入公式，我们可以得到 2F +2V -4=2E，它与欧拉公式相仿。不过，由于笛卡儿并不懂适于处理这类问题的概念，因此他本人没有推导出这一步。于是，欧拉享有了第一个提出多面体公式的荣誉。如今，人们主要通过戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）17 世纪 70 年代留下的手抄本，才得以了解笛卡儿在多面体方面的工作，但这份手抄本直到 1859 年才被公之于众，那时，欧拉在该领域的工作早已得到了广泛认可。

尽管最初欧拉并不能“给出一个令人满意的证明”，但最终他还是利用“切割法”完成了证明。利用这种证明方式，他不断从多面体上削去四面体，而每个削去四面体的步骤都没有改变 F–E+V。通过这种方法，他最终得到一个四面体，正如我们前面看到的，它符合 F –E +V =2。由于 F –E +V 的值在处理过程的每个阶段都是相同的，因此对欧拉最初假设的多面体而言，其结果也等于 2。1751 年 9月 9 日，欧拉在圣彼得堡科学院发表了他的证明。随后，他又在科学院期刊上发表了两篇关于多面体的重要论文。它们写于 1752 年，但直到 1756 年才面世。

非常不幸的是，欧拉的切割证明法并不总是有效，因此他的证明是有缺陷的。事实上，直到 1794 年，这个结论才由法国数学家、天文学家、著名教科书编著者阿德里安 – 马里·勒让德（Adrien -Marie Legendre）给出第一个基于概念的证明。在《几何学原理》中，他利用角和面的概念完成了证明，这与笛卡儿的方法更接近。

上文节选自人邮图灵新知《四种颜色就够了》，【遇见数学】已获转发许可。

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