霍尔效应及其副效应（霍尔效应中有哪些副效应,它们是怎样产生的原因）

 

本文中导电模型采取德鲁德模型；仅考虑只有一种载流子的导体I.德鲁德模型和霍尔效应德鲁德模型假定电子在金属中运动时不受到阻力；但是每过一段时间时间 2τ2\tau 就会和金属粒子发生碰撞，碰撞后电子的速度和碰撞前无关，且满足麦克斯韦-玻尔兹曼平衡统计分布。

我们接下来将运用德鲁德模型，求解正常电阻与霍尔电阻I.i.正常电阻在施加外场后，电子会产生定向漂移电子的漂移可以视为整个MB分布再叠加一个特定的速度，于是我们只需要考虑分布中心在速度空间中的移动不妨记电场方向沿

x^\hat x ，则 vxc=Eqmt\begin{align}v_{xc}=\frac{Eq}{m}t\end{align} ，其中 vxcv_{xc} 是电子分布球球心在速度空间中的 vxv_x 坐标。

注意到我们只需要在 0∼2τ0\sim2\tau 范围内求时间平均，于是有⟨vx⟩=⟨vxc⟩=Eqτm\langle v_x\rangle=\langle v_{xc}\rangle=\frac{Eq\tau}{m}\\

事实上，德鲁德模型中使用的 τ\tau 是体系的特征时间，而非自由时间关于为什么取特征时间为自由时间的一半，在这里就可以看出：为了在后面的推导中略去一个 12\frac12 的系数当然，这是一个粗略的模型，认为所有电子的自由时间是一致的。

不过这个模型中的电子散射更加离谱；我们只要认为是一种良好的近似就可以了若当处载流子浓度为 nn ，则方便写出电流密度j=nq⟨vx⟩=nEτq2mj=nq\langle v_x\rangle=\frac{nE\tau q^2}{m}\\

再结合欧姆定律 j=σEj=\sigma E ，即可得到电导率σ=nτq2m\sigma=\frac{n\tau q^2}{m}\\我们定性地分析一下德鲁德模型求得的电导率与温度得关系假设金属晶格是各向同性的（我们以后会一直在各向同性体系里进行操作），平均经过距离 。

dd 电子就会碰撞一次金属原子（这个假设是很合理的，虽然这里 dd 显然不是金属原子的最小间距）由于电子热运动速度远大于平均漂移速度（这虽然是费米统计的结论，但是采用MB分布的德鲁德模型也可以使用这个结论（在室温下）），于是我们简单地认为 。

vxc=0v_{xc}=0 单电子自由时间 t=dv\begin{align}t=\frac dv\end{align} ，将其代入速率分布求平均：τ=∫0+∞dv⋅m2πkBT3e−mv22kBT⋅4

πv2dv∝T−12\tau=\int_0^{+\infty}{\frac dv\cdot\sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}^3\mathbb e^{-\frac{mv^2}{2k_BT}}\cdot4\pi v^2\mathbb dv}\propto T^{-\frac12}\\

于是 σ∝T−12\begin{align}\sigma\propto T^{-\frac12}\end{align} ；但是实验上测量到 σ∝T−1\sigma\propto T^{-1} ，这是模型不够合理的地方。

（用简并费米气体就可以得到 T−1T^{-1} 的结果）顺便一提，运用德鲁德模型同样可以计算出傅里叶热导率与泽贝克系数，因而能够据此求解出各（不大正确的）动理系数这部分内容将会在I.iii.中介绍I.ii.霍尔电阻

现在我们考察同时存在电场与磁场的情形，在这种情况下将产生霍尔效应我们将利用德鲁德模型计算霍尔电阻考虑简化的情形，磁场 B→\vec B 沿方向 z^\hat z （垂直于电场和电流）假设导体的特征时间 。

τ\tau 远小于载流子在磁场中的回转周期 2πmqB\begin{align}\frac{2\pi m}{qB}\end{align} ，这样我们就可以不必考虑电子在两次碰撞之间运动的细节带来的影响，而非常方便地把碰撞的影响等效为一个不依赖具体相互作用阻力。

之后我们写的所有速度都是MB分布球的中心坐标，而不是微观的、统计的速度从电导式子出发，认为电场力和晶格碰撞带来的等效阻力平衡，我们就得到了阻力的影响：f→=−mτv→\vec f=-\frac m\tau\vec v\\

现在我们假设我们已经知道了电场，来求解电流的大小和方向只要反解我们得到的这个关系，就可以根据电流的约束，预测导体中的场，并求解霍尔电压了写成 x^\hat x 与 y^\hat y 的分量式：f→+q(

E→+v→×B→)=0⇒(vxvy)=1(mqτ)2+B2(mqτ−BBmqτ)(ExEy)\vec f+q\left(\vec E+\vec v\times\vec B\right)=0\Rightarrow\left(\begin{matrix}v_x\\v_y\end{matrix}\right)=\frac1{\left(\frac{m}{q\tau}\right)^2+B^2}\left(\begin{matrix}\frac{m}{q\tau}&-B\\B&\frac{m}{q\tau}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}E_x\\E_y\end{matrix}\right)\\

注意到 j→=nqv→\vec j=nq\vec v ，这样就有(jxjy)=nq(mqτ)2+B2(mqτ−BBmqτ)(ExEy)\begin{align}\left(\begin{matrix}j_x\\j_y\end{matrix}\right)=\frac{nq}{\left(\frac{m}{q\tau}\right)^2+B^2}\left(\begin{matrix}\frac{m}{q\tau}&-B\\B&\frac{m}{q\tau}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}E_x\\E_y\end{matrix}\right)\end{align}

； (ExEy)=1nq(mqτB−Bmqτ)(jxjy)\begin{align}\left(\begin{matrix}E_x\\E_y\end{matrix}\right)=\frac1{nq}\left(\begin{matrix}\frac{m}{q\tau}&B\\-B&\frac{m}{q\tau}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}j_x\\j_y\end{matrix}\right)\end{align}

回到通常的霍尔效应的情形，限制电流只能沿 x^\hat x 方向，这样算得 y^\hat y 方向电场Ey=σH−1jx=BnqjxE_y=\sigma_H^{-1}j_x=\frac{B}{nq}j_x\\

于是得到霍尔系数RH=defEyjxHz=1nqcR_H\overset{\text{def}}=\frac{E_y}{j_xH_z}=\frac1{nqc}\\这是一个只和载流子电荷量与数密度有关的量。

通过观察霍尔系数的符号，可以知道载流子是阳离子还是阴离子或电子实验测得的霍尔系数是温度和磁场的函数，这表明我们的近似有过于粗略的地方I.iii.动理系数我们简单地利用德鲁德模型，推导金属中电子输运的动理系数（虽然电导率与温度的幂次关系不正确直接宣告了理论失败）。

根据两个开尔文关系，我们只需要计算出电导率 σ\sigma 、热导率 κ\kappa 和泽贝克系数 ϵ\epsilon 就可以求解所有的动理系数动理系数与以上三个实验参数的关系详见下文白白：不可逆过程热力学。

30 赞同 · 11 评论文章

1、电导率刚才已经推导过了；我们这里利用理想气体的结论，不过平均自由程主要不取决于载流子之间碰撞，而取决于载流子与金属晶格碰撞记载流子平均自由程为 λ\lambda ，可以写出σ=nτq2m=12nq2

λπ2mkBT\sigma=\frac{n\tau q^2}{m}=\frac12nq^2\lambda\sqrt{\frac{\pi}{2mk_BT}}\\2、热导率这里热导率的模型与理想气体并无二致；但是数密度分布均匀（而不是像理想气体那样以力学平衡相关联）。

我们可以将理想气体的结论进行一些小修正与前面相同地，我们假设已知平均自由程 λ\lambda ，这样就有κ=4nkB2Tτm=nλ2πkB3Tm\kappa=\frac{4nk_B^2T\tau}{m}=n\lambda\sqrt{\frac{2\pi k_B^3T}{m}}\\

关于具体计算方法，参考下文：白白：玻尔兹曼方程及其应用49 赞同 · 25 评论文章

十分有趣的是，我们用粗略的模型求解出的电导率与热导率非常凑巧地满足一条实验定律Wiedemann-Franz定律： κσ=LT\begin{align}\frac\kappa\sigma=LT\end{align}。

，其中 LL 被称作洛伦兹数如果用动理系数描述，可以写出L=1TLnnLqq−LqnLnqq2Lnn2\begin{align}L=\frac1{T}\frac{L_{nn}L_{qq}-L_{qn}L_{nq}}{q^2L_{nn}^2}\end{align}。

，这也侧面说明 某些 动理系数 通常 是温度的函数我们的模型给出 L=4kB2q2\begin{align}L=\frac{4k_B^2}{q^2}\end{align} ；实验上测量到的值比我们的模型求出的值大两个数量级，这是由于我们采取理想气体（而不是简并费米气体）来计算，导致电子热容的计算值比理论值小很多。

我们不妨推导一下更普遍的热导率形式（只能推导数量级关系，具体系数需要将分布代入），迫于数学需要只能采用许多热学书籍喜欢采用的“ 16\begin{align}\frac16\end{align} ”假设（然而许多热学书东拼西凑得到的结论居然是对的）。

16\begin{align}\frac16\end{align} 假设认为，所有粒子都以方均根速度运动（为了满足能量自由度均分定理），且朝向 ±x^\pm\hat x 、 ±y^\pm\hat y 、

±z^\pm\hat z 六个方向运动的粒子各占比 16\begin{align}\frac16\end{align} （这就是我给他这样命名的原因）现在考虑热交换， τ\tau 时间内通过 dA\mathbb dA

面积从一侧输运到另一侧（注意这里只能算一次）的粒子数为 16nλdA\begin{align}\frac16n\lambda\mathbb dA\end{align} ，于是能量交换就是：dE=16n

λdA(εleft−εright)=−16nλdA⋅∂ε∂T∂T∂z2λ\mathbb dE=\frac16n\lambda\mathbb dA\left(\varepsilon_{\text{left}}-\varepsilon_{\text{right}}\right)=-\frac16n\lambda\mathbb dA\cdot\frac{\partial\varepsilon}{\partial T}\frac{\partial T}{\partial z}2\lambda\\

其中 ε\varepsilon 是单粒子能量的期望值，在我们的模型里显然只和温度有关这里需要解释一下为什么我们选取的长度微元是 2λ2\lambda 而非 λ\lambda 我们先划定一个界面，我们要考虑的能量交换取作穿过这个界面的能量。

还原“平均自由程”的系综统计意义：某个粒子运行距离 rr 但没有经历碰撞的概率为 e−rλ\mathbb e^{-\frac r\lambda} ；我们认为经历一次碰撞之后，粒子就与碰撞当处的其余粒子热平衡，不可区分碰撞后的粒子和碰撞时当处的本地粒子。

由于指数衰减很快，所以我们不必担心远处的温度梯度，而可以视作温度梯度是各处恒定的这样，一个来自 rr 处的粒子的温度期望值就是 T0−∂T∂z|0⋅r\begin{align}T_0-\frac{\partial T}{\partial z}\Bigg|_0\cdot r\end{align}。

，式中下标 00 标记了我们选取的界面处的物理量这样，从界面一侧穿向另一侧的粒子平均温度就是Tleft=∫0+∞(T0−∂T∂z|0⋅r)⋅e−rλdr=T0−∂T∂z|0⋅λT_{\text{left}}=\int_0^{+\infty}{\left(T_0-\frac{\partial T}{\partial z}\Bigg|_0\cdot r\right)\cdot\mathbb e^{-\frac r\lambda}\mathbb dr}=T_0-\frac{\partial T}{\partial z}\Bigg|_0\cdot\lambda\\。

同样地，另一侧就是Tright=T0+∂T∂z|0⋅λT_{\text{right}}=T_0+\frac{\partial T}{\partial z}\Bigg|_0\cdot\lambda\\这两者之间相差就是

∂T∂z2λ\begin{align}\frac{\partial T}{\partial z}2\lambda\end{align} 于是我们将线元取作 2λ2\lambda 当然，许多热学书喜欢说，两个厚度为 。

λ\lambda 的“层”之间热交换，总厚度就是 2λ2\lambda 这种解释十分牵强，因为如果你仔细考虑层内部的温度分布，就会发现左右两侧的平均温度为 T0±∂T∂z⋅λ2\begin{align}T_0\pm\frac{\partial T}{\partial z}\cdot\frac\lambda2\end{align}。

，会差一个系数再结合热容的定义 CV=n(∂ε∂T)V\begin{align}C_V=n\left(\frac{\partial\varepsilon}{\partial T}\right)_V\end{align}。

和热导率的定义 dE=−κ∂T∂z⋅τdA\begin{align}\mathbb dE=-\kappa\frac{\partial T}{\partial z}\cdot\tau\mathbb dA\end{align}

，就得到用热容表示的热导率：κ=13v2τCV\kappa=\frac13v^2\tau C_V\\再次利用能均分定理，可以得到 ⟨v2⟩=2CVTnm\begin{align}\langle v^2\rangle=\frac{2C_VT}{nm}\end{align}

，于是κ=23CV2τTnm\kappa=\frac23\frac{C_V^2\tau T}{nm}\\德鲁德模型的问题所在就是他采用了理想气体的定容热容，导致数量级出现问题3、泽贝克系数我们考察一块存在温度梯度的导体，继续沿用德鲁德模型中的理想气体载流子。

由于各处始终维持电中性，所以仍然有粒子数密度各处一致为 nn 我们可以假设某处只存在温度梯度而无外场，计算温度梯度带来的电流，再利用欧姆定律求解对应的电势差不妨假设温度仅在 x^\hat x 方向存在梯度。

利用玻尔兹曼方程，得到jz=nq∫vz2τ∂∂z(m2πkBT3e−m2kBT(vx2+vy2+vz2))dvxdvydvz=nqτ∫vz2[−32T+m2kBT2(vx2+vy2+vz2)]∂T∂z⋅

(m2πkBT3e−m2kBT(vx2+vy2+vz2))dvxdvydvz=kBm∂T∂znqτ\begin{align}j_z=&nq\int{v_z^2\tau\frac{\partial}{\partial z}\left(\sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}^3\mathbb e^{-\frac{m}{2k_BT}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}\right)\mathbb dv_x\mathbb dv_y\mathbb dv_z}\\=&nq\tau\int{v_z^2\left[-\frac{3}{2T}+\frac{m}{2k_BT^2}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)\right]\frac{\partial T}{\partial z}\\\cdot\left(\sqrt{\frac{m}{2\pi k_BT}}^3\mathbb e^{-\frac{m}{2k_BT}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}\right)\mathbb dv_x\mathbb dv_y\mathbb dv_z}\\=&\frac{k_B}{m}\frac{\partial T}{\partial z}nq\tau\end{align}\\

再结合德鲁德模型的电阻率，知道∂V∂z=Ez=σ−1jz=kBq∂T∂z\frac{\partial V}{\partial z}=E_z=\sigma^{-1}j_z=\frac{k_B}{q}\frac{\partial T}{\partial z}\\

于是泽贝克系数ϵ=∂V∂T=kBq\epsilon=\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{k_B}{q}\\这个结果仍然与实验结果差数量级我们可以简单地用热容来修正，和前面一样利用 。

16\begin{align}\frac16\end{align} 假设，就可以得到ϵ=13CVnq\epsilon=\frac13\frac{C_V}{nq}\\至此，动理系数已经全部解得II.霍尔效应的副效应。

实验上，我们得到了以下几个霍尔效应的副效应：1、不等位电势差UσU_\sigmaUσ=rσIU_\sigma=r_\sigma I\\由于加工的原因，霍尔元件的电压输出电极并不在无磁场时的等势面上，于是导致输出电压除了霍尔效应的影响外，还有电流流过本身带来的电势差。

非常夸张的示意图不等位电势差可以通过十分小心地制作原件来消除；实验上，我们通过电流反向后求霍尔电势绝对值的平均值来消除这一误差2、能斯特-爱廷豪森效应UEU_EUE=KEIBU_E=K_EIB\\这里我们讨论的是能斯特-爱廷豪森效应。

在电流经过磁场时，部分载流子会向垂直于电场与磁场的方向运动，而和金属晶格发生碰撞产生热（焦耳热）快载流子和慢载流子都受到洛伦兹力和霍尔电势对应的电场力，但是由于速度不同，所以其受到的合力方向不同，因而会积累到不同方向。

具体来说，比平均漂移速率（对应方向上）快的粒子和比评价漂移速率慢的粒子会受到不同方向的合力；而这两部分粒子恰好各占一半（有兴趣的可以算一算）而快慢不同的载流子和金属晶格碰撞产生的焦耳热不同，这造成了垂直于电场与磁场的方向存在温度梯度；这个温度梯度反过来又造成对应方向的温差电动势（塞贝克效应）。

这一项电势差无论是从器材制备上、还是实验操作中，都 没有办法消除 顺便一提爱廷豪森-能斯特效应：在存在磁场和温度梯度时，由于存在温差电动势所以存在热电流；这个热电流又在磁场作用下产生垂直于磁场和温度梯度的电势差（类似霍尔效应）。

通常来说这两个效应会同时存在爱廷豪森-能斯特效应UNU_N热电流UN=KNI热电流BU_N=K_NI_{热电流}B\\3、里吉-勒杜克效应URU_R热电流UR=KRI热电流BU_R=K_RI_{热电流}B\\

除了刚才的能斯特-爱廷豪森效应的电势差，由于引线和霍尔元件的材料往往不同（引线一般是铜或金等金属材料制成；而霍尔元件为了灵敏度往往是半导体制作的），这种温差还会导致电压输出电极事实上构成一对热电偶，产生温差电动势。

里吉勒杜克效应造成的误差在实验上可以通过改变电流方向消除II.i.能斯特-爱廷豪森效应由于这两个效应和材料的热输运过程相关，且与外界的热交换也是很重要一部分，所以我们不打算解出实际过程中的两个副效应我们就简单地假设体系中某处具有均匀的电磁场和温度梯度；关于产生温度梯度的机制会单独考量，但不纳入这一模型计算。

示意图根据我们之前对德鲁德模型的分析，粒子流动力和粒子流的动理系数可以展开为：L↠nn=Tσq211+(qbτm)2(1qBτm−qbτm1)\overset\twoheadrightarrow L_{nn}=\frac{T\sigma}{q^2}\frac{1}{1+\left(\frac{qb\tau}{m}\right)^2}\left(\begin{matrix}1&\frac{qB\tau}{m}\\-\frac{qb\tau}{m}&1\end{matrix}\right)\\

我们还可以利用泽贝克系数和热导率求出另外两个动理系数：L↠qn=L↠nq=qTϵL↠nn=−T2σϵq11+(qbτm)2(1qBτm−qbτm1)L↠qq=κT2+L↠qn⋅L↠nq⋅L↠nn−1=σ

T3ϵ2(1+1ϵ2κσTqBτm−qBτm1+κσTq2)\overset\twoheadrightarrow L_{qn}=\overset\twoheadrightarrow L_{nq}=qT\epsilon\overset\twoheadrightarrow L_{nn}=-\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qb\tau}{m}\right)^2}\left(\begin{matrix}1&\frac{qB\tau}{m}\\-\frac{qb\tau}{m}&1\end{matrix}\right)\\\overset\twoheadrightarrow L_{qq}=\kappa T^2+\overset\twoheadrightarrow L_{qn}\cdot\overset\twoheadrightarrow L_{nq}\cdot\overset\twoheadrightarrow L_{nn}^{-1}=\sigma T^3\epsilon^2\left(\begin{matrix}1+\frac{1}{\epsilon^2}\frac{\kappa}{\sigma T}&\frac{qB\tau}{m}\\-\frac{qB\tau}{m}&1+\frac{\kappa}{\sigma T}q^2\end{matrix}\right)\\

需要注意的是，三个实验参数（电导率 σ\sigma 、泽贝克系数 ϵ\epsilon 、热导率 κ\kappa ）以及特征时间 τ\tau 都应该 是温度的函数 ；而出现在 LqqL_{qq} 中的 κ

σT\frac{\kappa}{\sigma T} 则是洛伦兹数，实验上是个常数于是我们可以拼出一个巨大的、动力与流的关系：(jnxjnyjqxjqy)=(Tσq211+(qbτm)2Tσq211+(q

bτm)2qBτm−T2σϵq11+(qbτm)2−T2σϵq11+(qbτm)2qBτm−Tσq211+(qBτm)2qBτmTσq211+(qBτm)2T2σϵq11+(qBτm)2qBτm−T2σ

ϵq11+(qBτm)2−T2σϵq11+(qBτm)2−T2σϵq11+(qBτm)2qBτmσT3ϵ(1+1ϵ2κσT)σT3ϵqBτmT2σϵq11+(qBτm)2qBτm−T2σϵq11+(qB

τm)2−σT3ϵqBτmσT3ϵ(1+1ϵ2κσT))⋅(qExTqEyT−1T2∂T∂x−1T2∂T∂y)\left(\begin{matrix}j_{nx}\\j_{ny}\\j_{qx}\\j_{qy}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{T\sigma}{q^2}\frac{1}{1+\left(\frac{qb\tau}{m}\right)^2}&\frac{T\sigma}{q^2}\frac{1}{1+\left(\frac{qb\tau}{m}\right)^2}\frac{qB\tau}{m}&-\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qb\tau}{m}\right)^2}&-\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qb\tau}{m}\right)^2}\frac{qB\tau}{m}\\-\frac{T\sigma}{q^2}\frac1{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\frac{qB\tau}{m}&\frac{T\sigma}{q^2}\frac1{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}&\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\frac{qB\tau}{m}&-\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\\-\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}&-\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\frac{qB\tau}{m}&\sigma T^3\epsilon\left(1+\frac1{\epsilon^2}\frac{\kappa}{\sigma T}\right)&\sigma T^3\epsilon\frac{qB\tau}{m}\\\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\frac{qB\tau}{m}&-\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}&-\sigma T^3\epsilon\frac{qB\tau}{m}&\sigma T^3\epsilon\left(1+\frac1{\epsilon^2}\frac{\kappa}{\sigma T}\right)\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}\frac{qE_x}{T}\\\frac{qE_y}{T}\\-\frac1{T^2}\frac{\partial T}{\partial x}\\-\frac1{T^2}\frac{\partial T}{\partial y}\end{matrix}\right)\\

我们已有的约束是 jnx=jxqj_{nx}=\frac{j_x}q ， jny=0j_{ny}=0 ， jqx=0j_{qx}=0 ， ∂T∂x=0\frac{\partial T}{\partial x}=0

根据这些，我们就可以解得：Ex=jxσE_x=\frac{j_x}{\sigma}\\Ey=qBτm[(Tσq211+(qBτm)2)(σT3ϵ2)+(qBτm)2(−T2σϵq11+(qBτm)2)

2]σ[(Tσq211+(qBτm)2)(σT3ϵ2)−(−T2σϵq11+(qBτm)2)2]jxE_y=\frac{\frac{qB\tau}{m}\left[\left(\frac{T\sigma}{q^2}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\right)\left(\sigma T^3\epsilon^2\right)+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2\left(-\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\right)^2\right]}{\sigma\left[\left(\frac{T\sigma}{q^2}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\right)\left(\sigma T^3\epsilon^2\right)-\left(-\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\right)^2\right]}j_x\\

∂T∂y=qBτm[1+(qBτm)2](Tσq211+(qBτm)2)(−T2σϵq11+(qBτm)2)σTq[(Tσq211+(qBτm)2)(σT3ϵ2)−(−T2σϵq11+(qBτm)2)2

]jx\frac{\partial T}{\partial y}=\frac{\frac{qB\tau}{m}\left[1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2\right]\left(\frac{T\sigma}{q^2}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\right)\left(-\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\right)}{\frac{\sigma}{Tq}\left[\left(\frac{T\sigma}{q^2}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\right)\left(\sigma T^3\epsilon^2\right)-\left(-\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\right)^2\right]}j_x\\

在德鲁德模型求得的电导矩阵可以应用的条件下，应该满足 qBτm≪1\frac{qB\tau}{m}\ll1 II.ii.爱廷豪森-能斯特效应爱廷豪森-能斯特效应的发生需要有 y^\hat y 方向电流这会影响到 。

ExE_x 和 jxj_x 的比例关系具体计算从略，方法同上II.iii.霍尔效应副效应的消除实验上，通常通过分别交换霍尔电流的方向和磁场方向（即交换励磁电流方向），来消除除能斯特-爱廷豪森效应之外的副效应。

如上所述，我们可以通过测量导体的动理系数来从计算上消除能斯特-爱廷豪森效应第一次测量：记此时霍尔电流方向为“ ++ ”，磁场方向为“ ++ ”，则U1=UH+Uσ+UE+UN+URU_1=U_H+U_\sigma+U_E+U_N+U_R\\

第二次测量：霍尔电流 ++ ，磁场 −- ，则U2=−UH+Uσ−UE+UN+URU_2=-U_H+U_\sigma-U_E+U_N+U_R\\第三次测量：霍尔电流 −- ，磁场 ++ ，则U3=−UH

−Uσ−UE−UN−URU_3=-U_H-U_\sigma-U_E-U_N-U_R\\第四次测量：霍尔电流 −- ，磁场 −- ，则U4=UH−Uσ+UE−UN−URU_4=U_H-U_\sigma+U_E-U_N-U_R\\

于是就有14(U1−U2−U3+U4)=UH+UE\frac14\left(U_1-U_2-U_3+U_4\right)=U_H+U_E\\需要更精确地计算时，可以近似地认为UH=(Tσq211+(qB

τm)2)(σT3ϵ2)−(−T2σϵq11+(qBτm)2)2(Tσq211+(qBτm)2)(σT3ϵ2)(UH+UE)U_H=\frac{\left(\frac{T\sigma}{q^2}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\right)\left(\sigma T^3\epsilon^2\right)-\left(-\frac{T^2\sigma\epsilon}{q}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\right)^2}{\left(\frac{T\sigma}{q^2}\frac{1}{1+\left(\frac{qB\tau}{m}\right)^2}\right)\left(\sigma T^3\epsilon^2\right)}\left(U_H+U_E\right)\\